Я, как известно, закончил Харьковский Физтех по специальности "теоретическая физика", и у многих может возникнуть вопрос, какого рожна я поехал в Сухумский Физико-Технический Институт, а не остался в Харькове? Ответ прост - меня вынудили.
Действительно, я хотел заниматься теорией элементарных частиц и набился на пятом курсе делать курсовую работу по супер-гравитации под руководством Славы Сороки, сотрудника Д. В. Волкова из ХФТИ, но увы, не судьба. Даже дипломную работу (на шестом курсе) я уже делал по другой теме, а именно, описывал особенности структурообразования при формировании пленок (покрытий на подложке) плазменно-пучковым методом. Заставил меня заниматься этим прагматичным делом наш новый зав. кафедрой, некто Бережной, угрожая отчислением из университета. ХФТИ, оказывается, спустило на физтех разнарядку по дипломникам, мол, кто и где им нужен, и вот А. С. Бакай, молодой доктор ХФТИ, шедший тогда в гору, возглавив новую и перспективную тематику плазменно-пучкового метода нанесения пленок, хотел взять дипломников для последующего приема на работу по данной тематике. Слава Сорока сказал, что Бакай это тоже неплохо (нелинейщина и прочее), начни с ним, а потом перейдешь к нам. Диплом я с Бакаем (будущим академиком Украины) сделал, но на работу к нему в ХФТИ меня тоже не взяли.
Начальник отдела кадров ХФТИ, некто Дурнев, заблаговременно взял списки тех, кто хотел делать диплом и потом работать в ХФТИ, а в день распределения (задолго до защиты дипломов!) он заявился снова, чтобы сообщить "результаты". Сразу скажу, что на работу в ХФТИ взяли большинство ребят, ну, может быть, не совсем туда, куда некоторым хотелось, ну а мне же вообще отказали под предлогом отсутствия жилья. Я тогда уже был женат и имел дочь, а у них, похоже, была напряженка с обеспечением прав молодых специалистов, так что взяли харьковчан и иногородних, женившихся на харьковчанках, а мне Дурнев отказал прямым текстом, мол семейного общежития или жилья у нас нет и не предвидится, так что мы тебя взять никак не можем.
На наше распределение приехал и начальник отдела кадров СФТИ Шутов и весь наш курс стали распределять (осень 1980 года). Декан физтеха Блинкин предложил мне ехать в СФТИ. Я, естественно, отказался, а он сказал, что даже если ты не подпишешь туда распределение, то все равно ты туда поедешь. Опять, угроза была отчисление из университета. Я так офигел от всех этих отказов и приказов, что просто жуть. И времени подумать и посоветоваться с людьми и с женой не дали, подписывай прямо сейчас и всё. Я про СФТИ почти ничего и не слышал, кроме анекдотических случаев с нашими пьяными дипломниками и выпускниками, а тут решалась моя судьба. Я почитал внимательнее "путевку распределения", посмотрел, какая там зарплата (150 рублей плюс премия), что там с жильем (там строилось жилье и в распределении было написано - "с предоставлением"), поговорил с Шутовым о климате и будущем завлабе, чье имя мне ничего не говорило, и с горьким сердцем подписал.
Через несколько дней Бакай, имевший на меня виды, упрекнул меня, что я уезжаю, а он как будто хотел меня взять в аспирантуру, ну а жилье я мог бы и снимать, по его разумению. Про аспирантуру он раньше и не заикался, ведь еще и диплом не был готов, а нас уже взяли и решительно распределили. Я, конечно, ему ответил, что это был вовсе не мой выбор, а очередное насилие над моими планами. Короче, меня услали в СФТИ потому, что там, оказывается, работал мне не известный будущий академик Абхазии, а тогда только доктор физ. мат. наук и завлаб М. З. Максимов, которому тоже нужен был теоретик и они в СФТИ состряпали заявку на теоретика. Из нас, теоретиков физтеха, иногородних было три человека, но один женился на харьковчанке, а другого не женатого брали где-то в Харькове, так что мне женатому пришлось ехать в 1981 году работать к Максимову в СФТИ. Фокус был в том, что к тому времени Максимов уже изобрел свой "Приведенный Метод Сращивания" асимптотических разложений и хотел это новшество двигать ввысь и вширь, и моя роль в этом деле должна была быть существенная, по его замыслу. Так замыслы разных влиятельных людей ломали мою судьбу, делая из нее индейку, а не другую, более на судьбу похожую птицу.
Что же такого умного изобрел Максимов, что хотел занять этим множество людей? Он придумал технику "сращивания" противоположных асимптотик функций для "приближенного восстановления" искомой функции во всем интервале изменения аргумента. Если $F_0(x)$ есть ведущая асимптотика некоей функции $F(x)$ при $x\to 0$, а $F_{\infty}(x)$ есть ее ведущая асимптотика при $x\to\infty$, то "приближенно восстановленная" (терминология Максимова) функция во всем интервале изменения $x$ есть:
$\frac{1}{F^{(0)}}=\frac{1}{F_0}+\frac{1}{F_\infty},\qquad(1)$
или
$F^{(0)}(x)=\frac{F_0 (x)\cdot F_{\infty}(x)}{F_0 (x)+F_{\infty}(x)}.\qquad(2)$
Последняя формула похожа на формулу приведенной массы и поэтому Максимов назвал свой метод "Приведенным методом сращивания" (ПМС). Название, конечно, не очень, но зато наглядное и оригинальное ;-)
Дело прошлое и я теперь могу открыть секрет и тайну появления странной формулы (1). Задолго до изобретения (1) Максимов (вместе с другими физиками) работал с теорией тушения люминесценции в детекторах нейтронов. В СФТИ делали детекторы разных видов и надо было иметь их теоретическое описание. Если нейтрон возбуждает атом или молекулу в активной среде детектора, то регистрация кванта света позволяет регистрировать наличие нейтрона (наличие радиоактивности). Но возбужденный атом может передать свою энергию и безрадиационным образом, передать другой структуре, а та пустит ее в тепло или куда еще, так что полезное возбуждение "потухнет" и фотона не даст. В частности, рассматривались два разных независимых канала тушения - при прямом контакте возбужденного атома с эффективным поглотителем (механизм статистически контролируемый диффузией "вредных" атомов в жидком детекторе) и механизм резонансной передачи энергии в другую, но удаленную молекулярную структуру (механизм, контролируемый концентрацией других вредных - "резонансных" молекул). Короче, каждый механизм описывается своей шириной $\gamma$ (вероятность тушения в единицу времени) и характерной константой времени $\tau=1/\gamma$, так что результирующая ширина получается как сумма парциальных ширин $\gamma_{tot}=\gamma_1 + \gamma_2$ (вероятности независимых событий в данном случае складываются), а результирующая константа времени получается по формуле, похожей на формулу приведенной массы:
$\frac{1}{\tau}=\frac{1}{\tau_1 }+\frac{1 }{\tau_2}.\qquad(3)$
Заметьте, эта формула дает точное значение результирующей константы времени, а не приближенное. И вот, если одна из ширин в $\gamma_{tot}=\gamma_1 + \gamma_2$ доминирует над второй, то так оно и получается - в сумме "остается" она одна. Не понятно или слишком очевидно? Вот по-сложнее: если $\tau_1 \gg \tau_2$, то $\tau \approx \tau_2$, то есть, самому меньшему "времени жизни". И наоборот, если $\tau_1 \ll \tau_2$, то $\tau \approx \tau_1$. А в промежуточном случае будет "полная" формула (3) для характерного времени. С этим все ясно и ясно, что формула (3) для "приведенного времени" точная, но Максимов считал ее приближенной. И вот, изучая асимптотики константы времени $\tau$, но ошибочно и упорно считая формулу приведенного времени приближенной (?!), Максимов стал пробовать подставлять в (3) асимптотики и других функций вместо $\tau$, ведь для $\tau$ формула неплохо работала ;-) Так и появился ПМС, то есть, формула (3) и для других функций.
Испытав формулу (1) на нескольких примерах, Максимов вошел во вкус и стал ее применять, где надо и где не надо, - стал "восстанавливать" функции, так сказать. Но поскольку формула (1) не восстанавливает функцию, а как-то аппроксимирует ее в промежуточной области изменения аргумента (т.е., интерполирует), то вскоре возник насущный вопрос, а как можно уточнить эту формулу, зная следующие члены обоих асимптотических разложений? Ведь порой "восстановленная" функция только огорчает своей корявостью. Максимов почесал репу и ввел следующую "меру отклонения" $\Delta$ аппроксимации (1) от точной функции:
$\Delta(x)=\frac{1}{F(x)}-\frac{1}{F^{(0)}(x)}.\qquad(4)$
Вычисляя асимптотики $\Delta_0$ и $\Delta_\infty$ и применяя затем ПМС к $\Delta$ по той же формуле (2), получим первое приближение:
$F^{(1)}(x)=\frac{F^{(0)}}{1+F^{(0)}\cdot\Delta^{(0)}}.\qquad(5)$
В ряде случаев такой подход дает действительно лучшую аппроксимацию, и Максимов отправил свою статью с (1-2) и (4-5) в Академию Наук Грузинской ССР через нашего директора член-кора АН ГССР Р. Салуквадзе (вышла в Сообщениях АН ГССР в 1983, Т. 111, стр. 489). Ура! Такие "итерации", думалось, можно продолжать и дальше.
Все это было сделано им до меня, а меня лишь ознакомили с готовыми результатами (1-5). Я, конечно, по началу поувлекался ПМС, но довольно скоро столкнулся с его недостатками и, кроме того, ознакомился со статьей М. В. Костенко (журнал "Электричество", 1982, Т. 9, стр. 72-77), где тот тоже рассматривал аппроксимации по асимптотикам. Причем Костенко считал процесс построения аппроксимаций творческим процессом, не ограниченным какими-то либо рамками, с чем я был всецело согласен. Максимов же считал, что у Костенко "искусство", а не "наука", как у него в ПМС. И мои доводы о глупостях из-за формального построения и неясной точности полученных в ПМС аппроксимаций он упорно игнорировал. Здесь мы радикально разошлись во мнениях и он стал мне гадко мстить. В итоге, единственная работа, которую я подписал совместно с Максимовым, была о суммировании рядов теории возмущений в квантовой механике, обрисованная в предыдущем посте. Остальные работы я сделал и опубликовал сам, а с его "наукой" я больше не связывался, чтобы не портить себе репутацию.
Через четыре года и с большим трудом я смог-таки перейти от самодура Максимова в другую лабораторию, а Максимов взамен принял на работу молодого математика Т. Кварацхелия, закончившего мехмат МГУ. Ему он поручил изучать и развивать ПМС, и в итоге они опубликовали в ТМФ на эту тему статью (1989, Т. 78, N. 3, стр. 392). Прочитав их статью, я написал свое "разоблачение", но в ТМФ его не приняли, и пришлось мне потом довольствоваться жалким препринтом СФТИ, чтобы мой труд совсем не пропал. (Этот и еще один препринт СФТИ я напечатал на персональном компьютере, только-только тогда появившемся в СФТИ, а до этого мы печатали статьи на печатной машинке, вставляя и размечая формулы от руки). Там я изложил мои возражения лживым утверждениям статьи в ТМФ и обрисовал, как можно и нужно строить аппроксимации по асимптотикам, включая такой важный и практический вопрос, как оценка их точности "посередине". Так что, к ПМС я в итоге тоже как-то приложился, но совсем не так, как того изначально хотел М. З. Максимов (26/03/1928 - 27/04/2012). (Кстати, обещанного жилья в СФТИ я так и не получил, хотя и проработал там 11 трудных лет, будучи внеочередником. В 1992 году из-за войны мы бежали из Сухуми и начали нашу жизнь в Москве с нуля, где я с невероятным трудом смог-таки найти работу, а в 1999 мы фактически еще раз бежали, теперь во Францию.)
В этой и в других публикациях Максимова я впервые встретил выдавание желаемого за действительное, "словесную эквилибристику", как говорил сам Максимов, или вранье, как говорю я. Потом оказалось, что не только Максимов так поступает, а многие, преувеличивая, передергивая, раздувая свои результаты и нахваливая их. Нет объективности в точных науках и это надо знать, дорогой мой читатель.
Ниже я излагаю этот препринт практически таким, каким я его выпустил в тяжелое предвоенное время 1992 года. Здесь я лишь добавлю несколько рисунков для наглядности и пояснений к ним, когда надо.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Рассмотрены определения и некоторые важные практические свойства различных подходов к решению задачи аппроксимации функций одновременно по двум асимптотическим разложениям, а именно: исследованы свойства двухточечных аппроксимант Паде и так называемого "приведенного метода сращивания". Показано, что эти подходы имеют ряд практических ограничений, не объясняемых никакими теоремами сходимости. Вскрыты причины появления упомянутых ограничений и обсуждены пути их преодоления. Отмечено, что конструирование аппроксимант всегда было и должно быть творческим процессом. В работе предложен простой способ оценки точности построенных аппроксимант в промежуточной области изменения аргумента.
Недавно в ТМФ вышла статья [1], в которой предложены "две реализации построения высших приближений приведенного метода сращивания (ПМС), установлена связь ПМС с двухточечными аппроксимантами Паде и рассмотрена его сходимость". Поскольку данная тема представляет известный интерес для многих исследователей, а освещение ее в [1] оказалось весьма неполным (в частности, сходимость ПМС не была доказана) и имеет однобокий характер, встает задача более объективного и всестороннего изложения проблемы, сравнения и выяснения практических возможностей подходов разных авторов, в том числе и авторов [1].
Как известно, термин "сращивание асимптотических решений" (или разложений) традиционно используется в теории сингулярно-возмущенных уравнений, в которой он, строго говоря, означает процесс определения неизвестных постоянных внутреннего решения по уже известному внешнему решению [2]. Вычисление произвольных постоянных возможно в силу того, что существует определенная область независимой переменной, в которой внутреннее и внешнее разложения в одинаковой мере точны (или, если угодно, неточны). После фиксации этих постоянных получается составное решение, и термин "сращивание" можно понимать практически буквально. Использование же степенных рядов, ортогональных полиномов, рациональных дробей и прочих зависимостей для приближенного вычисления заданной функции в математике традиционно называется "аппроксимацией". В работе [1] сращиванием ошибочно названа именно аппроксимация. Мы же будем придерживаться традиционной терминологии.
Основой аппроксимации функции в окрестности некоторой точки, как известно, может служить ее разложение Тейлора в этой точке. Теоретически, если все члены разложения известны точно, ряд Тейлора содержит полную информацию о данной функции. Если члены ряда удовлетворяют критериям сходимости, то для точного вычисления искомой функции (и ее аппроксимации) годятся частичные суммы ряда. Если критерии сходимости не выполняются, то для точного вычисления данной функции можно попытаться подобрать обобщенный метод суммирования [3]. На практике же обычно известно лишь небольшое количество членов разложения, так так трудоемкость их вычисления сильно растет с ростом номера члена. Кроме того, бывает весьма желательно вычислить или оценить искомую функцию вдали от точки разложения. Сумма нескольких членов ряда вдали от точки разложения зачастую оказывается бесполезной, ибо она с ростом $x$ растет как старшая степень отрезка ряда. Например, $1-x+x^2$ для $e^{-x}$ в области $x>2$ хуже аппроксимирует (экстраполирует) затухающую экспоненту, чем даже единица. Проблема лишь усугубляется, если коэффициенты ряда с ростом порядка члена быстро растут, как это имеет место при разложении в окрестности особой точки. В этом положении для аппроксимации полезными в ряде случаев оказываются рациональные дроби - аппроксиманты Паде (АП) [4]. Их практичность обусловлена простотой построения и нелинейностью, за счет которой вдали от точки разложения рациональная дробь может расти не так быстро, как старший член в отрезке ряда Тейлора. Используя дополнительную информацию об искомой функции (например, положительность и убывание для $e^{-x}$), можно попробовать подобрать рациональную дробь с похожими чертами ( $1/(1+x+x^2 /2$) ), которая будет лучшей аппроксимацией (экстраполяцией), чем сам кусок ряда. В последние десятилетия АП, их обобщения и комбинации с другими методами суммирования асимптотических разложений находят широкое применение в разных областях теоретической физики [4, 5].
Возможна и другая постановка задачи - аппроксимировать функцию одновременно по двум асимптотическим разложениям, скажем, по разложениям в нуле и на бесконечности, о чем, собственно, и пойдет речь ниже. Пожалуй самым известным примером такого рода аппроксимации является полуэмпирическая формула Планка для объемной спектральной плотности излучения абсолютно черного тела [6]:
$u_{\nu}(T)=\frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/kT} -1},\qquad(1)$
являющейся одновременно и точной формулой. (Трудно, кстати, представить возможную судьбу гипотезы квантов, если бы истинная формула для $u_{\nu}(T)$ оказалась бы более сложной и аппроксимация (1) не совпала бы с ней). Отметим также, что время от времени разными авторами строились для своих нужд подобные аппроксимации отдельных функций, которые более или менее известны в соответствующих областях прикладной и теоретической физики. Конкретные формулы, однако, в настоящей работе нас не особенно интересуют. Гораздо важнее для нас сам опыт построения и свойства различных аппроксимирующих зависимостей. Аппроксиманты, простроенные по обоим асимптотическим разложениям, для ясности назовем биасимптотическими аппроксимантами.
Будем для определенности и простоты исследовать аппроксимации положительных и ограниченных на вещественной оси $x\in[0,\infty]$ функций, разложения которых в нуле и на бесконечности имеют следующий "канонический" вид:
$F(x)_{x\to 0}\approx 1+a_1\cdot x + a_2\cdot x^2+...,\qquad(2)$
$F(x)_{x\to\infty}\approx \frac{1}{x^P}\left(1+\frac{b_1}{x}+\frac{b_2}{x^2}+...\right);\quad 0\le F(x)=O(1) \;\forall x \in[0,\infty],\qquad(3)$
где $P$ - целое неотрицательное число.
Рассмотрим вначале свойства модифицированного метода Паде (ММП) [7] (он же метод двухточечных АП с кратными точками $0$ и $\infty$ [4], стр. 287). В отличие от обычного метода Паде, модифицированный заключается в построении дробно-рациональных приближений с учетом обоих асимптотических разложений (2) и (3). Очевидно, степень $N$ полинома числителя рациональной дроби для (2) и (3) должна быть на $P$ единиц меньше степени полинома знаменателя. Поэтому примем обозначения вида:
$\frac{Q_N (x)}{Q_{N+P}(x)}=\frac{1 + p_1 x + ... +p_N x^N}{1+q_1 x + ... + q_{N+P} x^{N+P}}=[N/N+P]_{l,m} (x),\qquad(4)$
$\left( F-[N/N+P]_{l,m}\right)_{x\to 0}\propto \alpha_l x^l;\;\; \left( F-[N/N+P]_{l,m}\right)_{x\to \infty}\propto \beta_m x^{-(m+P)}.$
Здесь $N$ пробегает значения 0, 1, 2, ...; $l\ge 1$ - число членов разложения (2), учтенных при построении (4); $m\ge 1$ - число членов разложения (3), учтенных в (4). Коэффициенты $p_i$ и $q_i$ можно находить разными способами, в том числе и обычным для АП путем - домножением разложений на знаменатель дроби (4) $Q_{N+P}$, составлением и решением системы линейных уравнений. Величина $(l+m)\ge 2$ есть количество уравнений для коэффициентов для аппроксиманты (4). Для данных $N$ и $P$ величины $l$ и $m$ должны удовлетворять равенству:
$l+m=2N+P+1\qquad(5)$
В противном случае ($l+m < 2N+P+1$) в (4) остаются неопределенными часть коэффициентов, для фиксации которых требуются несколько дополнительных условий, не связанных с разложениями (2) и (3). Например, для $l=m=1$ необходимо, чтобы число $P$ равнялось единице. Если $P=2$, то в (4) имеется один "лишний " коэффициент $q_1$: $[0/2]_{1,1}=1/(1+q_1 x + x^2)$, определить который можно было бы лишь потребовав, скажем, равенства этой аппроксимации в некоторой точке $x_3$ заданному значению $F(x_3)$:
$[0/2]_{1,1}(x_3)=F(x_3).\qquad(6)
Мы пока предположим, что располагаем только разложениями (2), (3), и никакого $F(x_3)$ нам заранее не известно. Следовательно, минимальное для данной функции (данного $P$) число $(l+m)$ известных членов разложений, учитываемых в (4) без привлечения дополнительных уравнений типа (6), должно равняться $P+1$. Иначе возникает "произвол" в аппроксимации.
Если же известны ($2N+P+2)$ члена разложений (2, (3), то один из членов не может быть учтен для "улучшения" аппроксиманты, так как число уравнений получается больше числа неизвестных коэффициентов в (4). Значит, в ММП не всегда удается использовать все имеющиеся в наличии члены разложений.
Рассмотрим, однако, благоприятный случай (5). Оказывается, что аппроксиманты (4) совсем не обязательно должны получиться конечными и положительными в отличие от исходной функции. Покажем это на простейшем примере. В качестве исходной функции возьмем рациональную дробь вида
$F(x)=\frac{1+a\cdot x + x^2}{1+b\cdot x +c\cdot x^2 + x^3};\quad F(x)_{x\to 0}\approx 1+(a-b)x+...\; ;\quad F(x)_{x\to \infty}\approx \frac{1}{x}\left(1+\frac{a-c}{x}+...\right).\qquad(7)$
Модифицированный метод Паде дает нам последовательность аппроксимант:
$\left{[N/N+1]_{l,m}\right},\; N=0, 1, 2, ...,\qquad(8)
которая, скати, сходится к (7) уже при $N=2$. Первая аппроксиманта этой последовательности - $[0/1]_{1,1}=1/(1+x)$ - положительна и ограниченна на всей оси $x$. Следующая серия аппроксимант - это $[1/2]_{1,3}$, $[1/2]_{2,2}$ и $[1/2]_{3,1}$. Рассмотрим $[1/2]_{2,2}$:
$ [1/2]_{2,2}=\frac{1+\frac{1+a-b}{1+a-c}x}{1+\frac{1-(a-c)(a-b)}{1+a-c}x+\frac{1+a-b}{1+a-c}x^2}.\qquad (9)
Нетрудно убедиться, что в зависимости от соотношения между независимыми параметрами $a$, $b$ и $c$ аппроксиманта (9) может быть как "хорошей", так и вовсе неудовлетворительной. Например, при $a=c=1,\; b=3$
$ [1/2]_{2,2}=\frac{1-x}{1+x-x^2}\qquad (10)$
она, не смотря на правильные асимптотики, меняет знак в $x=1$ и сингулярна (разрывна) на вещественной оси в $x=(1+\sqrt{5})/2\approx 1.62$, а в случае $a=b=c=1$ $[1/2]_{2,2}=(1+x)/(1+x+x^2)$ - она хорошо приближает исходную функцию (см. первый и второй рисунки соответственно).
Непрерывно изменяя параметры $a$, $b$ и $c$ в незначительных пределах, можно из хорошего приближения получить неудовлетворительное. Та же самая ситуация не исключена для остальных аппроксимант этой серии. Очевидно также, что данное утверждение справедливо и в общем случае (2), (3).
(Заметим в этой связи, что для положительной конечной функции $F(x)$, имеющей степенное разложение в нуле типа (2), в обыкновенной таблице Паде практически всегда найдется последовательность положительных АП, каждая из которых учитывает все известные в своем порядке члены разложения, ибо в обычном методе Паде при данном $l$ есть выбор из $l+1$ разных аппроксимант - от самого полинома $[l/0]$ до "обратного" полинома $[0/l]$. В ММП же при данных $l$ и $m$ аппроксиманта одна).
Наконец, следует иметь ввиду, что даже в случае, когда аппроксиманты последовательности (8) положительны (для конкретных $l$ и $m$) и, следовательно, в применимости метода сомнений не возникает, последующее приближение $[N+1/N+P+1]_{l_2,m_2}$ не всегда должно быть лучше (точнее) предыдущего $[N/N+P]_{l_1,m_1}$ во всей области изменения $x$. Как иллюстрацию последнего утверждения рассмотрим следующую монотонно убывающую функцию:
$F(x)=\frac{1+2 x+3 x^2+2 x^3 +x^4}{1+4 x+3 x^2 +4 x^3 + 5 x^4 + x^5},\quad F_{x\to 0}\approx 1-2 x+...,\quad F_{x\to\infty}\approx \frac{1}{x}\left(1-\frac{3}{x}+...\right),\qquad(11)$
для которой $[0/1]_{1,1}=1/(1+x)$, а $[1/2]_{2,2}=(1+0.5 x)/(1+2.5 x + 0.5 x^2).$ Сравнивая численные значения этих приближений со значениями точной функции (11), можно убедиться, что дробь $[1/2]_{2,2}$ лучше дроби $[0/1]_{1,1}$ в области малых и в области больших $x$ (Фиг. 3). В средней же области ($0.2 \le x \le 2.5$) функция $[1/2]_{2,2}$ значительно уступает в точности аппроксиманте $[0/1]_{1,1}$ . В частности, при $x=1$ $[0/1]_{1,1}(1)=0.5=F(1)$, в то время как $[1/2]_{2,2}(1)=0.375$ (Фиг. 3, 4).
Причина такого положения дел ясна. В самом деле, аппроксиманты (4) по построению должны удовлетворять лишь двум требованиям: 1) быть рациональными дробями (однозначный выбор аппроксимирующей зависимости), и 2) обладать асимптотически правильным (при данном числе учтенных членов разложений) поведением. Этих требований явно не достаточно для обеспечения монотонной сходимости последовательности приближений (8) при конечных значениях $x$. Их недостаточно, как мы видели выше, даже для обеспечения положительности и конечности аппроксимант, ибо все эти дополнительные качества не заложены в аппроксимантах по построению. Не очень помогают здесь и возможные теоремы о сходимости (4) к $F(x)$ при $N\to\infty$ [8], равно как не важны теоремы о расходимости при $N\to\infty$, так как теоремы о сходимости не гарантируют знакопостоянства и конечности (4) при небольших (и вообще конечных) $N$. Коэффициенты разложений (2) и (3) в двух бесконечно-удаленных точках определяют коэффициенты рациональной дроби, как формы пробной аппроксимирующей зависимости, но нету никаких оснований заранее считать такую форму аппроксимации удовлетворительной при конечных $x$ и небольших $N$. Поэтому для каких-то функций аппроксиманты ММП могут быть конечными в промежуточной области $x$ и прекрасно сходиться к $F(x)$ с ростом $N$, а для других - наоборот, что и наблюдается на практике.
Рассмотрим теперь "приведенный метод сращивания" - ПМС [1], представляющий собой некий формальный алгоритм построения биасимптотических аппроксимант. Если известны ведущие степенные асимптотики $F_0 (x)$ и $F_{\infty} (x)$ функции $F(x)$, то "нулевое приближение" ПМС строится по формуле:
$F^{(0)} (x) = \frac{F_0 (x)}{1+F_0 (x)/F_{\infty} (x)}= \frac{F_0 (x)F_{\infty} (x)}{F_0 (x)+F_{\infty} (x)}.\qquad(12)$
Формула (12) справедлива, однако, только в том случае, когда отношение $F_0/F_{\infty}$ пропорционально положительной степени $x$: $F_0 /F_{\infty}\propto x^P,\; P\gt 0$. Чтобы избавиться от лишних и несущественных обозначений, мы с самого начала поделили $F$ на $F_0$ и изменили масштаб переменной $x$, приведя асимптотики к простому виду (2), (3). Для этого вида формула (12) просто означает, что в нулевом приближении $F(x)$ аппроксимируется функцией:
$F^{(0)}(x)=\frac{1}{1+x^P}.\qquad(13)$
Чтобы строить "высшие приближения" в ПМС, используется следующая мера отклонения аппроксиманты (12) от точной функции:
$\Delta (x) = \frac{1}{F(x)} - \frac{1}{F^{(0)} (x)};\quad F(x)=\frac{ F^{(0)} }{1+F^{(0)}\cdot \Delta(x)}.\qquad(14)$
Вычисляя теперь асимптотики функции $\Delta$: $\Delta_0 (x)$ и $\Delta_{\infty}(x)$, конструируя теперь "нулевое приближение" $\Delta^{(0)}$ по такой же форме (12) и подставляя его в (14), получим "первое приближение ПМС":
$F^{(1)} (x) = \frac{F^{(0)} (x)}{1+F^{(0)} (x)\cdot \Delta^{(0)}(x)}.\qquad(15)$
Дальнейшие уточнения, согласно [1], возможны по двум направлениям. "Первая реализация" высших приближений ПМС основана на аппроксимации функций $\delta_n (x)$:
$\delta_n (x)=\frac{1}{F(x)}-\frac{1}{F^{(n-1)}(x)};\quad F^{(n)}=\frac{ F^{(n-1)} }{1+F^{(n-1)}\delta_n ^{(0)}} = \frac{F^{(0)}}{1+F^{(0)}\sum_{i=1}^n \delta_i ^{(0)}(x)} .\qquad(16)$
"Вторая реализация" основана на аппроксимации функций $\Delta_n (x)$ (обозначение наше, так как в работе [1] для $\Delta_n (x)$ использовано крайне неудачное, на наш взгляд, обозначение $f^{(n)}(x)$):
$\Delta_1=\Delta(x),\quad \Delta_n (x) = \frac{1}{\Delta_{n-1}}- \frac{1}{\Delta_{n-1}^{(0)}},\quad F^{(n)}(x)=\frac{F^{(0)}}{1+F^{(0)}\cdot\frac{\Delta_1 ^{(0)}}{1+\Delta_1 ^{(0)}\cdot\frac{\Delta_2^{(0)}}{1+\Delta_2^{(0)}\cdot\frac{...}{...}}}}.\qquad(17) $
"Вторая реализация" больше похожа на цепную дробь, поэтому займемся сперва анализом "второй реализации".
2.1. Вторая реализация ПМС
Пусть $P=1$. Тогда все приближения ПМС (17) совпадают с диагональными по нижним индексам аппроксимантами MMP (4):
$F^{(N)}(x)=[N/N+1]_{l,l},\quad l=N+1.$
Таким образом, здесь ПМС дает частные результаты ММП (в [1] об этом говорится, как об установлении "связи" с двухточечными АП). Возможность появления сингулярных (или неудачных) приближений здесь хорошо видна из того, что знаки асимптотик $(\Delta_i)_0$ и $(\Delta_i)_{\infty}$, вообще говоря, не коррелируют друг с другом, и в случае разных знаков у этих асимптотик нулевое приближение $\Delta_i^{(0)}$, согласно (12), имеет в знаменателе ноль. "Первое приближение" (15) тогда обязательно меняет знак и порой может даже обратиться где-нибудь в бесконечность, если где-то $F^{(0)} (x)\cdot \Delta^{(0)}(x)=-1$. В высших порядках такие "неприятности" могут как исчезать, так и накапливаться.
Пусть теперь $P=2$. Тогда из (13) видно, что произвольный в ММП коэффициент $q_1$ по построению в ПМС равен нулю. Вычисляя асимптотики $\Delta_0$ и $\Delta_{\infty}$:
$\Delta_0=-a_1 x,\quad \Delta_{\infty}=-b_1 x,\qquad(18)$
заключаем, что, хотя соответствующие члены разложений (2) и (3) известны, построить $\Delta^{(0)}$ по ним невозможно, так как отношение $\Delta_0/\Delta_{\infty}= const$ и формула (12) не применима. (В соответствующей аппроксиманте ММП $[1/3]_{2,2}$ имеется один неопределенный коэффициент). Эта новая трудность техники ПМС возникает, на самом деле, при всех четных $P$ и она означает невозможность "механического" построения всех последующих "высших приближений" ни в "первой", ни во "второй" реализациях ПМС.
Вернемся, однако, к случаю $P=2$. Чтобы все-таки выйти из отмеченного затруднения, предположим, что известно не по два, а по три члена в разложениях (2) и (3). Тогда можно рассмотреть, например, функцию $\tilde{\Delta}=\Delta-\Delta_0$. Вычисляя ее асимптотики, ее аппроксимацию $\tilde{\Delta}^{(0)}$, затем определяя $\Delta}^{(1)}=\tilde{\Delta}^{(0)}+\Delta_0$ и подставляя $\Delta}^{(1)}$ в (15), получим аппроксиманту $\tilde{F}^{(1)}$, в точности совпадающую с дробью ММП $[1/3]_{3,2}$. Если же рассмотреть не $\tilde{\Delta}$, а $\tilde{\tilde{\Delta}}=\Delta-\Delta_{\infty}$ и проделать с ней то же самое, то получим $\tilde{\tilde{F}}^{(1)}$, совпадающую с рациональной дробью ММП $[1/3]_{2,3}$. Следовательно, и в этом, "улучшенном" варианте алгоритма ПМС получаются частные случаи аппроксимант ММП. Данное утверждение, на самом деле, является общим для всех целых значений $P$. Таким образом, оригинальности или продвижения по сравнению с ММП здесь нет. И если в модифицированном методе Паде при данном $N$ еще имеется некоторый выбор аппроксимант за счет перебора разных $l$ и $m$ и возможного произвола в коэффициентах (вроде произвола с $q_1$), то в ПМС аппроксиманта единственна (если вообще пригодна). Кроме того, система линейных уравнений для коэффициентов двухточечных аппроксимант Паде может быть решена на $N\gg1$, в то время как величины $\Delta_n ^{(0)}$ получаются в результате многократных и длинных разложений всех функций $\Delta_i,\quad 1\le i \le n$, производимых вручную.
2.2. Первая реализация ПМС
Рассмотрим теперь "первую реализацию" высших приближений ПМС (16) для (2) и (3) в случае $P=1$:
$F^{(N)}(x)=\left(1+x+\sum_{i=1}^N \frac{A_i x^i}{1+B_i x^{2i-1}}\right)^{-1},\quad N=1,2,3,... .\qquad(19)$
Здесь $A_i x^i = (\delta_i)_0,\quad B_i x^{2i-1}=(\delta_i)_0 /(\delta_i)_{\infty}$. При $N=0$ и $N=1$ она тождественно совпадает со "второй реализацией", а при $N\gt 1$ никак с ней не связана (приведенная же в [1] "связь", на самом деле, есть связь между определениями функций $\Delta_2$, $\delta_1$ и $\delta_2$ до построения аппроксимаций последних). При данном $N$ формула (19) представляет собой отношение двух длинных полиномов вида $Q_{N^2}/Q_{N^2 +1}$ и, следовательно, не сходится при конечных $N$ даже к рациональным дробям $[L/L+1], \; L\ge 2$, например, к (7), в отличие от ММП. В "первой реализации", так же как и во "второй", возможно возникновение сингулярностей и нулей, если $(\delta_i)_0$ и $(\delta_i)_{\infty}$ имеют разные знаки. Имеется также аналогичное (18) затруднение при четном $P$. Наконец, резкоменяющиеся функции типа $x^n /\left(1+B_n x^{2n-1}\right)$, безусловно, не самым лучшим образом аппроксимируют гладкую $F(x)$ в средней области, так что в сходимости "первой реализации" (19) к $F(x)$ при $N\to\infty$ есть сомнения и по этой причине.
В свете вышеустановленного декларация в [1] "приведенного метода сращивания асимптотических разложений", как некоего "более последовательного метода", разработанного для "функциональных последовательностей", представляется нам ничем не оправданным, беспочвенным преувеличением.
Нетрудно понять, что тупиковые ситуации типа (10), (18) и ухудшения точности, как в примере (11), происходят в ПМС из-за наивной многократной эксплуатации одной и той же формы (12), в стремлении построить $F^{(N)}(x)$ "механическим способом". Между тем, аппроксимитующих зависимостей, имеющих заданные асимптотики, существует бесчисленное множество, и без опоры на это обстоятельство, очевидно, не обойтись. Совсем, например, не обязательно строить $F^{(0)}$ по формуле (12), а $\Delta_n$ - по (14) или (16). Функция $F^{(0)}$ должна иметь лишь нужные ведущие асимптотики, а формулы для функций типа $\Delta_n$ - быть разрешимыми относительно $\Delta_{n-1}$ (или относительно $F$, что одно и то же): $F(x)=\Phi(\Delta_i,F^{(0)})$. Поступая таким образом, можно получить большой выбор аппроксимант и, в частности, добиться одинаковых знаков у асимптотик функций $\Delta_n$ во избежание "неприятностей". Иными словами, построение аппроксимант это всякий раз индивидуальный творческий, а не "механический" процесс, учитывающий информацию не только "асимптотического" характера. Мы, однако, не будем здесь развивать эти очевидные соображения, оставляя их в качестве упражнения для читателя, а обратимся к работе [9], также решающей задачу приближения сложной функции $W_1$ путем конструирования более простой функции $W_2$ по обоим разложениям (2) и (3) ("способ предельных точек"):
"Если в рядах сохранить только первый один, максимум - два члена, то обычно без больших затруднений удается подобрать другую, более простую функцию $W_2$, имеющую приблизительно такие же разложения для больших и малых значений $x$. При этом, очевидно, функции $W_1$ и $W_2$ в двух предельных точках ($x\to 0$ и $x\to\infty$) будут иметь примерно одинаковые значения, а также подобные характеры их изменения и соответственно близкие значения вблизи предельных точек. При промежуточных значения аргумента ($0 \lt x \lt \infty$) значения функций $W_1$ и $W_2$ могут, вообще говоря, значительно различаться. Однако, как показывают сравнительные расчеты, для монотонных функций эти различия в большинстве случаев лежат в пределах погрешностей, допустимых для приближенных расчетов. В случае же необходимости можно уменьшить эту погрешность либо путем воспроизведения большего числа членов разложений (2) и (3) с соответствующим усложнением аппроксимирующей функции, или же путем введения поправочного множителя для грубого приближенного учета разности $W_1-W_2$. Очевидно, способ "предельных точек" не дает и не может дать однозначного решения. В данной работе не удалось также оценить погрешность аппроксимации, и оценка ее погрешности ... осуществлялась путем прямого расчета исходной и аппроксимирующей функций. Однако в ряде практических расчетов ... такой способ может оказаться полезным". (Далее в [9] идут конкретные примеры).
Мы процитировали отрывок из [9] с целью подчеркнуть лишний раз, что задачу аппроксимации функций по асимптотикам успешно решают давно, что налицо понимание многовариантности возможных решений, и что получение теоретических оценок точности биасимптотических аппроксимант в промежуточной области представляет собой нерешенную проблему. (Хотя всё вышеизложенное и известно авторам работы [1], они, к сожалению, избегают упоминать работы [9,10] и обсуждать возникающие в ПМС проблемы, предпочитая "иллюстрировать эффективность ПМС" подстановкой известных асимптотик в формулу (12). Если при этом аппроксиманта, уже построенная и опробованная другим автором, получается формально и в ПМС, то говорится о ее "более последовательном обосновании" при помощи ПМС).
Прежде чем обсудить ключевую проблему оценок точности в промежуточной области, рассмотрим несколько элементарных примеров.
3.1. Примеры
3.1.1. Решить приближенно уравнение $ctg(\lambda)=x\cdot\lambda$, где $x\in[0,\infty]$.
Разложения первого корня при больших и малых $x$ есть: $\lambda_{x\to 0}\approx \frac{\pi}{2}(1-x+...);\quad\lambda_{x\to\infty}\approx\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1-\frac{1}{6x}+...\right)$. Простейшей аппроксимацией, учитывающей лишь ведущие асимптотики, может быть функция $\tilde{\lambda}(x)=\frac{\pi}{2}\left(1+\frac{\pi^2}{4}x\right)^{-1/2}$ (тонкая красная кривая на Fig. 5). Численный анализ показывает, что ее погрешность не превосходит 2.5% [10]. Хорошая точность аппроксиманты $\tilde{\lambda}(x)$ обусловлена случайной близостью следующих членов ее разложений ( $-\frac{\pi^2}{8}x$ и $-\frac{2}{\pi^2}\frac{1}{x}$ ) к неучтенным членам разложений точной функции, выписанным выше. (Случайности случаются, вспомним Планка).
Нулевое приближение ПМС есть $\lambda^{(0)}=\frac{\pi}{2}\left(1+\frac{\pi}{2}\sqrt{x}\right)^{-1}$, см. толстую синюю кривую на Fig. 5. У $\lambda^{(0)}(х)$ наоборот, следующие члены разложений совсем не похожи на члены разложений $\lambda (x)$ и поэтому точность $\lambda^{(0)}$ получается не очень, порядка 45%. Первое приближение ПМС $\lambda^{(1)}=\frac{\lambda^{(0)}}{1+\lambda^{(0)}\Delta^{(0)}}$ с $\Delta^{(0)}=-\frac{\sqrt{x}}{1+\pi\sqrt{x}/2}$ получше - его погрешность не превышает 9% (тонкая зеленая кривая).
Действительно, я хотел заниматься теорией элементарных частиц и набился на пятом курсе делать курсовую работу по супер-гравитации под руководством Славы Сороки, сотрудника Д. В. Волкова из ХФТИ, но увы, не судьба. Даже дипломную работу (на шестом курсе) я уже делал по другой теме, а именно, описывал особенности структурообразования при формировании пленок (покрытий на подложке) плазменно-пучковым методом. Заставил меня заниматься этим прагматичным делом наш новый зав. кафедрой, некто Бережной, угрожая отчислением из университета. ХФТИ, оказывается, спустило на физтех разнарядку по дипломникам, мол, кто и где им нужен, и вот А. С. Бакай, молодой доктор ХФТИ, шедший тогда в гору, возглавив новую и перспективную тематику плазменно-пучкового метода нанесения пленок, хотел взять дипломников для последующего приема на работу по данной тематике. Слава Сорока сказал, что Бакай это тоже неплохо (нелинейщина и прочее), начни с ним, а потом перейдешь к нам. Диплом я с Бакаем (будущим академиком Украины) сделал, но на работу к нему в ХФТИ меня тоже не взяли.
Начальник отдела кадров ХФТИ, некто Дурнев, заблаговременно взял списки тех, кто хотел делать диплом и потом работать в ХФТИ, а в день распределения (задолго до защиты дипломов!) он заявился снова, чтобы сообщить "результаты". Сразу скажу, что на работу в ХФТИ взяли большинство ребят, ну, может быть, не совсем туда, куда некоторым хотелось, ну а мне же вообще отказали под предлогом отсутствия жилья. Я тогда уже был женат и имел дочь, а у них, похоже, была напряженка с обеспечением прав молодых специалистов, так что взяли харьковчан и иногородних, женившихся на харьковчанках, а мне Дурнев отказал прямым текстом, мол семейного общежития или жилья у нас нет и не предвидится, так что мы тебя взять никак не можем.
На наше распределение приехал и начальник отдела кадров СФТИ Шутов и весь наш курс стали распределять (осень 1980 года). Декан физтеха Блинкин предложил мне ехать в СФТИ. Я, естественно, отказался, а он сказал, что даже если ты не подпишешь туда распределение, то все равно ты туда поедешь. Опять, угроза была отчисление из университета. Я так офигел от всех этих отказов и приказов, что просто жуть. И времени подумать и посоветоваться с людьми и с женой не дали, подписывай прямо сейчас и всё. Я про СФТИ почти ничего и не слышал, кроме анекдотических случаев с нашими пьяными дипломниками и выпускниками, а тут решалась моя судьба. Я почитал внимательнее "путевку распределения", посмотрел, какая там зарплата (150 рублей плюс премия), что там с жильем (там строилось жилье и в распределении было написано - "с предоставлением"), поговорил с Шутовым о климате и будущем завлабе, чье имя мне ничего не говорило, и с горьким сердцем подписал.
Через несколько дней Бакай, имевший на меня виды, упрекнул меня, что я уезжаю, а он как будто хотел меня взять в аспирантуру, ну а жилье я мог бы и снимать, по его разумению. Про аспирантуру он раньше и не заикался, ведь еще и диплом не был готов, а нас уже взяли и решительно распределили. Я, конечно, ему ответил, что это был вовсе не мой выбор, а очередное насилие над моими планами. Короче, меня услали в СФТИ потому, что там, оказывается, работал мне не известный будущий академик Абхазии, а тогда только доктор физ. мат. наук и завлаб М. З. Максимов, которому тоже нужен был теоретик и они в СФТИ состряпали заявку на теоретика. Из нас, теоретиков физтеха, иногородних было три человека, но один женился на харьковчанке, а другого не женатого брали где-то в Харькове, так что мне женатому пришлось ехать в 1981 году работать к Максимову в СФТИ. Фокус был в том, что к тому времени Максимов уже изобрел свой "Приведенный Метод Сращивания" асимптотических разложений и хотел это новшество двигать ввысь и вширь, и моя роль в этом деле должна была быть существенная, по его замыслу. Так замыслы разных влиятельных людей ломали мою судьбу, делая из нее индейку, а не другую, более на судьбу похожую птицу.
Что же такого умного изобрел Максимов, что хотел занять этим множество людей? Он придумал технику "сращивания" противоположных асимптотик функций для "приближенного восстановления" искомой функции во всем интервале изменения аргумента. Если $F_0(x)$ есть ведущая асимптотика некоей функции $F(x)$ при $x\to 0$, а $F_{\infty}(x)$ есть ее ведущая асимптотика при $x\to\infty$, то "приближенно восстановленная" (терминология Максимова) функция во всем интервале изменения $x$ есть:
$\frac{1}{F^{(0)}}=\frac{1}{F_0}+\frac{1}{F_\infty},\qquad(1)$
или
$F^{(0)}(x)=\frac{F_0 (x)\cdot F_{\infty}(x)}{F_0 (x)+F_{\infty}(x)}.\qquad(2)$
Последняя формула похожа на формулу приведенной массы и поэтому Максимов назвал свой метод "Приведенным методом сращивания" (ПМС). Название, конечно, не очень, но зато наглядное и оригинальное ;-)
Дело прошлое и я теперь могу открыть секрет и тайну появления странной формулы (1). Задолго до изобретения (1) Максимов (вместе с другими физиками) работал с теорией тушения люминесценции в детекторах нейтронов. В СФТИ делали детекторы разных видов и надо было иметь их теоретическое описание. Если нейтрон возбуждает атом или молекулу в активной среде детектора, то регистрация кванта света позволяет регистрировать наличие нейтрона (наличие радиоактивности). Но возбужденный атом может передать свою энергию и безрадиационным образом, передать другой структуре, а та пустит ее в тепло или куда еще, так что полезное возбуждение "потухнет" и фотона не даст. В частности, рассматривались два разных независимых канала тушения - при прямом контакте возбужденного атома с эффективным поглотителем (механизм статистически контролируемый диффузией "вредных" атомов в жидком детекторе) и механизм резонансной передачи энергии в другую, но удаленную молекулярную структуру (механизм, контролируемый концентрацией других вредных - "резонансных" молекул). Короче, каждый механизм описывается своей шириной $\gamma$ (вероятность тушения в единицу времени) и характерной константой времени $\tau=1/\gamma$, так что результирующая ширина получается как сумма парциальных ширин $\gamma_{tot}=\gamma_1 + \gamma_2$ (вероятности независимых событий в данном случае складываются), а результирующая константа времени получается по формуле, похожей на формулу приведенной массы:
$\frac{1}{\tau}=\frac{1}{\tau_1 }+\frac{1 }{\tau_2}.\qquad(3)$
Заметьте, эта формула дает точное значение результирующей константы времени, а не приближенное. И вот, если одна из ширин в $\gamma_{tot}=\gamma_1 + \gamma_2$ доминирует над второй, то так оно и получается - в сумме "остается" она одна. Не понятно или слишком очевидно? Вот по-сложнее: если $\tau_1 \gg \tau_2$, то $\tau \approx \tau_2$, то есть, самому меньшему "времени жизни". И наоборот, если $\tau_1 \ll \tau_2$, то $\tau \approx \tau_1$. А в промежуточном случае будет "полная" формула (3) для характерного времени. С этим все ясно и ясно, что формула (3) для "приведенного времени" точная, но Максимов считал ее приближенной. И вот, изучая асимптотики константы времени $\tau$, но ошибочно и упорно считая формулу приведенного времени приближенной (?!), Максимов стал пробовать подставлять в (3) асимптотики и других функций вместо $\tau$, ведь для $\tau$ формула неплохо работала ;-) Так и появился ПМС, то есть, формула (3) и для других функций.
Испытав формулу (1) на нескольких примерах, Максимов вошел во вкус и стал ее применять, где надо и где не надо, - стал "восстанавливать" функции, так сказать. Но поскольку формула (1) не восстанавливает функцию, а как-то аппроксимирует ее в промежуточной области изменения аргумента (т.е., интерполирует), то вскоре возник насущный вопрос, а как можно уточнить эту формулу, зная следующие члены обоих асимптотических разложений? Ведь порой "восстановленная" функция только огорчает своей корявостью. Максимов почесал репу и ввел следующую "меру отклонения" $\Delta$ аппроксимации (1) от точной функции:
$\Delta(x)=\frac{1}{F(x)}-\frac{1}{F^{(0)}(x)}.\qquad(4)$
Вычисляя асимптотики $\Delta_0$ и $\Delta_\infty$ и применяя затем ПМС к $\Delta$ по той же формуле (2), получим первое приближение:
$F^{(1)}(x)=\frac{F^{(0)}}{1+F^{(0)}\cdot\Delta^{(0)}}.\qquad(5)$
В ряде случаев такой подход дает действительно лучшую аппроксимацию, и Максимов отправил свою статью с (1-2) и (4-5) в Академию Наук Грузинской ССР через нашего директора член-кора АН ГССР Р. Салуквадзе (вышла в Сообщениях АН ГССР в 1983, Т. 111, стр. 489). Ура! Такие "итерации", думалось, можно продолжать и дальше.
Все это было сделано им до меня, а меня лишь ознакомили с готовыми результатами (1-5). Я, конечно, по началу поувлекался ПМС, но довольно скоро столкнулся с его недостатками и, кроме того, ознакомился со статьей М. В. Костенко (журнал "Электричество", 1982, Т. 9, стр. 72-77), где тот тоже рассматривал аппроксимации по асимптотикам. Причем Костенко считал процесс построения аппроксимаций творческим процессом, не ограниченным какими-то либо рамками, с чем я был всецело согласен. Максимов же считал, что у Костенко "искусство", а не "наука", как у него в ПМС. И мои доводы о глупостях из-за формального построения и неясной точности полученных в ПМС аппроксимаций он упорно игнорировал. Здесь мы радикально разошлись во мнениях и он стал мне гадко мстить. В итоге, единственная работа, которую я подписал совместно с Максимовым, была о суммировании рядов теории возмущений в квантовой механике, обрисованная в предыдущем посте. Остальные работы я сделал и опубликовал сам, а с его "наукой" я больше не связывался, чтобы не портить себе репутацию.
Через четыре года и с большим трудом я смог-таки перейти от самодура Максимова в другую лабораторию, а Максимов взамен принял на работу молодого математика Т. Кварацхелия, закончившего мехмат МГУ. Ему он поручил изучать и развивать ПМС, и в итоге они опубликовали в ТМФ на эту тему статью (1989, Т. 78, N. 3, стр. 392). Прочитав их статью, я написал свое "разоблачение", но в ТМФ его не приняли, и пришлось мне потом довольствоваться жалким препринтом СФТИ, чтобы мой труд совсем не пропал. (Этот и еще один препринт СФТИ я напечатал на персональном компьютере, только-только тогда появившемся в СФТИ, а до этого мы печатали статьи на печатной машинке, вставляя и размечая формулы от руки). Там я изложил мои возражения лживым утверждениям статьи в ТМФ и обрисовал, как можно и нужно строить аппроксимации по асимптотикам, включая такой важный и практический вопрос, как оценка их точности "посередине". Так что, к ПМС я в итоге тоже как-то приложился, но совсем не так, как того изначально хотел М. З. Максимов (26/03/1928 - 27/04/2012). (Кстати, обещанного жилья в СФТИ я так и не получил, хотя и проработал там 11 трудных лет, будучи внеочередником. В 1992 году из-за войны мы бежали из Сухуми и начали нашу жизнь в Москве с нуля, где я с невероятным трудом смог-таки найти работу, а в 1999 мы фактически еще раз бежали, теперь во Францию.)
В этой и в других публикациях Максимова я впервые встретил выдавание желаемого за действительное, "словесную эквилибристику", как говорил сам Максимов, или вранье, как говорю я. Потом оказалось, что не только Максимов так поступает, а многие, преувеличивая, передергивая, раздувая свои результаты и нахваливая их. Нет объективности в точных науках и это надо знать, дорогой мой читатель.
Ниже я излагаю этот препринт практически таким, каким я его выпустил в тяжелое предвоенное время 1992 года. Здесь я лишь добавлю несколько рисунков для наглядности и пояснений к ним, когда надо.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
В. Л. КАЛИТВЯНСКИЙ
СУХУМСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ, СУХУМИ
1992 г.
Рассмотрены определения и некоторые важные практические свойства различных подходов к решению задачи аппроксимации функций одновременно по двум асимптотическим разложениям, а именно: исследованы свойства двухточечных аппроксимант Паде и так называемого "приведенного метода сращивания". Показано, что эти подходы имеют ряд практических ограничений, не объясняемых никакими теоремами сходимости. Вскрыты причины появления упомянутых ограничений и обсуждены пути их преодоления. Отмечено, что конструирование аппроксимант всегда было и должно быть творческим процессом. В работе предложен простой способ оценки точности построенных аппроксимант в промежуточной области изменения аргумента.
ВВЕДЕНИЕ
Недавно в ТМФ вышла статья [1], в которой предложены "две реализации построения высших приближений приведенного метода сращивания (ПМС), установлена связь ПМС с двухточечными аппроксимантами Паде и рассмотрена его сходимость". Поскольку данная тема представляет известный интерес для многих исследователей, а освещение ее в [1] оказалось весьма неполным (в частности, сходимость ПМС не была доказана) и имеет однобокий характер, встает задача более объективного и всестороннего изложения проблемы, сравнения и выяснения практических возможностей подходов разных авторов, в том числе и авторов [1].
Как известно, термин "сращивание асимптотических решений" (или разложений) традиционно используется в теории сингулярно-возмущенных уравнений, в которой он, строго говоря, означает процесс определения неизвестных постоянных внутреннего решения по уже известному внешнему решению [2]. Вычисление произвольных постоянных возможно в силу того, что существует определенная область независимой переменной, в которой внутреннее и внешнее разложения в одинаковой мере точны (или, если угодно, неточны). После фиксации этих постоянных получается составное решение, и термин "сращивание" можно понимать практически буквально. Использование же степенных рядов, ортогональных полиномов, рациональных дробей и прочих зависимостей для приближенного вычисления заданной функции в математике традиционно называется "аппроксимацией". В работе [1] сращиванием ошибочно названа именно аппроксимация. Мы же будем придерживаться традиционной терминологии.
Основой аппроксимации функции в окрестности некоторой точки, как известно, может служить ее разложение Тейлора в этой точке. Теоретически, если все члены разложения известны точно, ряд Тейлора содержит полную информацию о данной функции. Если члены ряда удовлетворяют критериям сходимости, то для точного вычисления искомой функции (и ее аппроксимации) годятся частичные суммы ряда. Если критерии сходимости не выполняются, то для точного вычисления данной функции можно попытаться подобрать обобщенный метод суммирования [3]. На практике же обычно известно лишь небольшое количество членов разложения, так так трудоемкость их вычисления сильно растет с ростом номера члена. Кроме того, бывает весьма желательно вычислить или оценить искомую функцию вдали от точки разложения. Сумма нескольких членов ряда вдали от точки разложения зачастую оказывается бесполезной, ибо она с ростом $x$ растет как старшая степень отрезка ряда. Например, $1-x+x^2$ для $e^{-x}$ в области $x>2$ хуже аппроксимирует (экстраполирует) затухающую экспоненту, чем даже единица. Проблема лишь усугубляется, если коэффициенты ряда с ростом порядка члена быстро растут, как это имеет место при разложении в окрестности особой точки. В этом положении для аппроксимации полезными в ряде случаев оказываются рациональные дроби - аппроксиманты Паде (АП) [4]. Их практичность обусловлена простотой построения и нелинейностью, за счет которой вдали от точки разложения рациональная дробь может расти не так быстро, как старший член в отрезке ряда Тейлора. Используя дополнительную информацию об искомой функции (например, положительность и убывание для $e^{-x}$), можно попробовать подобрать рациональную дробь с похожими чертами ( $1/(1+x+x^2 /2$) ), которая будет лучшей аппроксимацией (экстраполяцией), чем сам кусок ряда. В последние десятилетия АП, их обобщения и комбинации с другими методами суммирования асимптотических разложений находят широкое применение в разных областях теоретической физики [4, 5].
Возможна и другая постановка задачи - аппроксимировать функцию одновременно по двум асимптотическим разложениям, скажем, по разложениям в нуле и на бесконечности, о чем, собственно, и пойдет речь ниже. Пожалуй самым известным примером такого рода аппроксимации является полуэмпирическая формула Планка для объемной спектральной плотности излучения абсолютно черного тела [6]:
$u_{\nu}(T)=\frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/kT} -1},\qquad(1)$
являющейся одновременно и точной формулой. (Трудно, кстати, представить возможную судьбу гипотезы квантов, если бы истинная формула для $u_{\nu}(T)$ оказалась бы более сложной и аппроксимация (1) не совпала бы с ней). Отметим также, что время от времени разными авторами строились для своих нужд подобные аппроксимации отдельных функций, которые более или менее известны в соответствующих областях прикладной и теоретической физики. Конкретные формулы, однако, в настоящей работе нас не особенно интересуют. Гораздо важнее для нас сам опыт построения и свойства различных аппроксимирующих зависимостей. Аппроксиманты, простроенные по обоим асимптотическим разложениям, для ясности назовем биасимптотическими аппроксимантами.
1. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ПАДЕ
Будем для определенности и простоты исследовать аппроксимации положительных и ограниченных на вещественной оси $x\in[0,\infty]$ функций, разложения которых в нуле и на бесконечности имеют следующий "канонический" вид:
$F(x)_{x\to 0}\approx 1+a_1\cdot x + a_2\cdot x^2+...,\qquad(2)$
$F(x)_{x\to\infty}\approx \frac{1}{x^P}\left(1+\frac{b_1}{x}+\frac{b_2}{x^2}+...\right);\quad 0\le F(x)=O(1) \;\forall x \in[0,\infty],\qquad(3)$
где $P$ - целое неотрицательное число.
Рассмотрим вначале свойства модифицированного метода Паде (ММП) [7] (он же метод двухточечных АП с кратными точками $0$ и $\infty$ [4], стр. 287). В отличие от обычного метода Паде, модифицированный заключается в построении дробно-рациональных приближений с учетом обоих асимптотических разложений (2) и (3). Очевидно, степень $N$ полинома числителя рациональной дроби для (2) и (3) должна быть на $P$ единиц меньше степени полинома знаменателя. Поэтому примем обозначения вида:
$\frac{Q_N (x)}{Q_{N+P}(x)}=\frac{1 + p_1 x + ... +p_N x^N}{1+q_1 x + ... + q_{N+P} x^{N+P}}=[N/N+P]_{l,m} (x),\qquad(4)$
$\left( F-[N/N+P]_{l,m}\right)_{x\to 0}\propto \alpha_l x^l;\;\; \left( F-[N/N+P]_{l,m}\right)_{x\to \infty}\propto \beta_m x^{-(m+P)}.$
Здесь $N$ пробегает значения 0, 1, 2, ...; $l\ge 1$ - число членов разложения (2), учтенных при построении (4); $m\ge 1$ - число членов разложения (3), учтенных в (4). Коэффициенты $p_i$ и $q_i$ можно находить разными способами, в том числе и обычным для АП путем - домножением разложений на знаменатель дроби (4) $Q_{N+P}$, составлением и решением системы линейных уравнений. Величина $(l+m)\ge 2$ есть количество уравнений для коэффициентов для аппроксиманты (4). Для данных $N$ и $P$ величины $l$ и $m$ должны удовлетворять равенству:
$l+m=2N+P+1\qquad(5)$
В противном случае ($l+m < 2N+P+1$) в (4) остаются неопределенными часть коэффициентов, для фиксации которых требуются несколько дополнительных условий, не связанных с разложениями (2) и (3). Например, для $l=m=1$ необходимо, чтобы число $P$ равнялось единице. Если $P=2$, то в (4) имеется один "лишний " коэффициент $q_1$: $[0/2]_{1,1}=1/(1+q_1 x + x^2)$, определить который можно было бы лишь потребовав, скажем, равенства этой аппроксимации в некоторой точке $x_3$ заданному значению $F(x_3)$:
$[0/2]_{1,1}(x_3)=F(x_3).\qquad(6)
Мы пока предположим, что располагаем только разложениями (2), (3), и никакого $F(x_3)$ нам заранее не известно. Следовательно, минимальное для данной функции (данного $P$) число $(l+m)$ известных членов разложений, учитываемых в (4) без привлечения дополнительных уравнений типа (6), должно равняться $P+1$. Иначе возникает "произвол" в аппроксимации.
Если же известны ($2N+P+2)$ члена разложений (2, (3), то один из членов не может быть учтен для "улучшения" аппроксиманты, так как число уравнений получается больше числа неизвестных коэффициентов в (4). Значит, в ММП не всегда удается использовать все имеющиеся в наличии члены разложений.
Рассмотрим, однако, благоприятный случай (5). Оказывается, что аппроксиманты (4) совсем не обязательно должны получиться конечными и положительными в отличие от исходной функции. Покажем это на простейшем примере. В качестве исходной функции возьмем рациональную дробь вида
$F(x)=\frac{1+a\cdot x + x^2}{1+b\cdot x +c\cdot x^2 + x^3};\quad F(x)_{x\to 0}\approx 1+(a-b)x+...\; ;\quad F(x)_{x\to \infty}\approx \frac{1}{x}\left(1+\frac{a-c}{x}+...\right).\qquad(7)$
Модифицированный метод Паде дает нам последовательность аппроксимант:
$\left{[N/N+1]_{l,m}\right},\; N=0, 1, 2, ...,\qquad(8)
которая, скати, сходится к (7) уже при $N=2$. Первая аппроксиманта этой последовательности - $[0/1]_{1,1}=1/(1+x)$ - положительна и ограниченна на всей оси $x$. Следующая серия аппроксимант - это $[1/2]_{1,3}$, $[1/2]_{2,2}$ и $[1/2]_{3,1}$. Рассмотрим $[1/2]_{2,2}$:
$ [1/2]_{2,2}=\frac{1+\frac{1+a-b}{1+a-c}x}{1+\frac{1-(a-c)(a-b)}{1+a-c}x+\frac{1+a-b}{1+a-c}x^2}.\qquad (9)
Нетрудно убедиться, что в зависимости от соотношения между независимыми параметрами $a$, $b$ и $c$ аппроксиманта (9) может быть как "хорошей", так и вовсе неудовлетворительной. Например, при $a=c=1,\; b=3$
$ [1/2]_{2,2}=\frac{1-x}{1+x-x^2}\qquad (10)$
она, не смотря на правильные асимптотики, меняет знак в $x=1$ и сингулярна (разрывна) на вещественной оси в $x=(1+\sqrt{5})/2\approx 1.62$, а в случае $a=b=c=1$ $[1/2]_{2,2}=(1+x)/(1+x+x^2)$ - она хорошо приближает исходную функцию (см. первый и второй рисунки соответственно).
Непрерывно изменяя параметры $a$, $b$ и $c$ в незначительных пределах, можно из хорошего приближения получить неудовлетворительное. Та же самая ситуация не исключена для остальных аппроксимант этой серии. Очевидно также, что данное утверждение справедливо и в общем случае (2), (3).
(Заметим в этой связи, что для положительной конечной функции $F(x)$, имеющей степенное разложение в нуле типа (2), в обыкновенной таблице Паде практически всегда найдется последовательность положительных АП, каждая из которых учитывает все известные в своем порядке члены разложения, ибо в обычном методе Паде при данном $l$ есть выбор из $l+1$ разных аппроксимант - от самого полинома $[l/0]$ до "обратного" полинома $[0/l]$. В ММП же при данных $l$ и $m$ аппроксиманта одна).
Наконец, следует иметь ввиду, что даже в случае, когда аппроксиманты последовательности (8) положительны (для конкретных $l$ и $m$) и, следовательно, в применимости метода сомнений не возникает, последующее приближение $[N+1/N+P+1]_{l_2,m_2}$ не всегда должно быть лучше (точнее) предыдущего $[N/N+P]_{l_1,m_1}$ во всей области изменения $x$. Как иллюстрацию последнего утверждения рассмотрим следующую монотонно убывающую функцию:
$F(x)=\frac{1+2 x+3 x^2+2 x^3 +x^4}{1+4 x+3 x^2 +4 x^3 + 5 x^4 + x^5},\quad F_{x\to 0}\approx 1-2 x+...,\quad F_{x\to\infty}\approx \frac{1}{x}\left(1-\frac{3}{x}+...\right),\qquad(11)$
для которой $[0/1]_{1,1}=1/(1+x)$, а $[1/2]_{2,2}=(1+0.5 x)/(1+2.5 x + 0.5 x^2).$ Сравнивая численные значения этих приближений со значениями точной функции (11), можно убедиться, что дробь $[1/2]_{2,2}$ лучше дроби $[0/1]_{1,1}$ в области малых и в области больших $x$ (Фиг. 3). В средней же области ($0.2 \le x \le 2.5
Причина такого положения дел ясна. В самом деле, аппроксиманты (4) по построению должны удовлетворять лишь двум требованиям: 1) быть рациональными дробями (однозначный выбор аппроксимирующей зависимости), и 2) обладать асимптотически правильным (при данном числе учтенных членов разложений) поведением. Этих требований явно не достаточно для обеспечения монотонной сходимости последовательности приближений (8) при конечных значениях $x$. Их недостаточно, как мы видели выше, даже для обеспечения положительности и конечности аппроксимант, ибо все эти дополнительные качества не заложены в аппроксимантах по построению. Не очень помогают здесь и возможные теоремы о сходимости (4) к $F(x)$ при $N\to\infty$ [8], равно как не важны теоремы о расходимости при $N\to\infty$, так как теоремы о сходимости не гарантируют знакопостоянства и конечности (4) при небольших (и вообще конечных) $N$. Коэффициенты разложений (2) и (3) в двух бесконечно-удаленных точках определяют коэффициенты рациональной дроби, как формы пробной аппроксимирующей зависимости, но нету никаких оснований заранее считать такую форму аппроксимации удовлетворительной при конечных $x$ и небольших $N$. Поэтому для каких-то функций аппроксиманты ММП могут быть конечными в промежуточной области $x$ и прекрасно сходиться к $F(x)$ с ростом $N$, а для других - наоборот, что и наблюдается на практике.
2. ПРИВЕДЕННЫЙ МЕТОД СРАЩИВАНИЯ
Рассмотрим теперь "приведенный метод сращивания" - ПМС [1], представляющий собой некий формальный алгоритм построения биасимптотических аппроксимант. Если известны ведущие степенные асимптотики $F_0 (x)$ и $F_{\infty} (x)$ функции $F(x)$, то "нулевое приближение" ПМС строится по формуле:
$F^{(0)} (x) = \frac{F_0 (x)}{1+F_0 (x)/F_{\infty} (x)}= \frac{F_0 (x)F_{\infty} (x)}{F_0 (x)+F_{\infty} (x)}.\qquad(12)$
Формула (12) справедлива, однако, только в том случае, когда отношение $F_0/F_{\infty}$ пропорционально положительной степени $x$: $F_0 /F_{\infty}\propto x^P,\; P\gt 0$. Чтобы избавиться от лишних и несущественных обозначений, мы с самого начала поделили $F$ на $F_0$ и изменили масштаб переменной $x$, приведя асимптотики к простому виду (2), (3). Для этого вида формула (12) просто означает, что в нулевом приближении $F(x)$ аппроксимируется функцией:
$F^{(0)}(x)=\frac{1}{1+x^P}.\qquad(13)$
Чтобы строить "высшие приближения" в ПМС, используется следующая мера отклонения аппроксиманты (12) от точной функции:
$\Delta (x) = \frac{1}{F(x)} - \frac{1}{F^{(0)} (x)};\quad F(x)=\frac{ F^{(0)} }{1+F^{(0)}\cdot \Delta(x)}.\qquad(14)$
Вычисляя теперь асимптотики функции $\Delta$: $\Delta_0 (x)$ и $\Delta_{\infty}(x)$, конструируя теперь "нулевое приближение" $\Delta^{(0)}$ по такой же форме (12) и подставляя его в (14), получим "первое приближение ПМС":
$F^{(1)} (x) = \frac{F^{(0)} (x)}{1+F^{(0)} (x)\cdot \Delta^{(0)}(x)}.\qquad(15)$
Дальнейшие уточнения, согласно [1], возможны по двум направлениям. "Первая реализация" высших приближений ПМС основана на аппроксимации функций $\delta_n (x)$:
$\delta_n (x)=\frac{1}{F(x)}-\frac{1}{F^{(n-1)}(x)};\quad F^{(n)}=\frac{ F^{(n-1)} }{1+F^{(n-1)}\delta_n ^{(0)}} = \frac{F^{(0)}}{1+F^{(0)}\sum_{i=1}^n \delta_i ^{(0)}(x)} .\qquad(16)$
"Вторая реализация" основана на аппроксимации функций $\Delta_n (x)$ (обозначение наше, так как в работе [1] для $\Delta_n (x)$ использовано крайне неудачное, на наш взгляд, обозначение $f^{(n)}(x)$):
$\Delta_1=\Delta(x),\quad \Delta_n (x) = \frac{1}{\Delta_{n-1}}- \frac{1}{\Delta_{n-1}^{(0)}},\quad F^{(n)}(x)=\frac{F^{(0)}}{1+F^{(0)}\cdot\frac{\Delta_1 ^{(0)}}{1+\Delta_1 ^{(0)}\cdot\frac{\Delta_2^{(0)}}{1+\Delta_2^{(0)}\cdot\frac{...}{...}}}}.\qquad(17) $
"Вторая реализация" больше похожа на цепную дробь, поэтому займемся сперва анализом "второй реализации".
2.1. Вторая реализация ПМС
Пусть $P=1$. Тогда все приближения ПМС (17) совпадают с диагональными по нижним индексам аппроксимантами MMP (4):
$F^{(N)}(x)=[N/N+1]_{l,l},\quad l=N+1.$
Таким образом, здесь ПМС дает частные результаты ММП (в [1] об этом говорится, как об установлении "связи" с двухточечными АП). Возможность появления сингулярных (или неудачных) приближений здесь хорошо видна из того, что знаки асимптотик $(\Delta_i)_0$ и $(\Delta_i)_{\infty}$, вообще говоря, не коррелируют друг с другом, и в случае разных знаков у этих асимптотик нулевое приближение $\Delta_i^{(0)}$, согласно (12), имеет в знаменателе ноль. "Первое приближение" (15) тогда обязательно меняет знак и порой может даже обратиться где-нибудь в бесконечность, если где-то $F^{(0)} (x)\cdot \Delta^{(0)}(x)=-1$. В высших порядках такие "неприятности" могут как исчезать, так и накапливаться.
Пусть теперь $P=2$. Тогда из (13) видно, что произвольный в ММП коэффициент $q_1$ по построению в ПМС равен нулю. Вычисляя асимптотики $\Delta_0$ и $\Delta_{\infty}$:
$\Delta_0=-a_1 x,\quad \Delta_{\infty}=-b_1 x,\qquad(18)$
заключаем, что, хотя соответствующие члены разложений (2) и (3) известны, построить $\Delta^{(0)}$ по ним невозможно, так как отношение $\Delta_0/\Delta_{\infty}= const$ и формула (12) не применима. (В соответствующей аппроксиманте ММП $[1/3]_{2,2}$ имеется один неопределенный коэффициент). Эта новая трудность техники ПМС возникает, на самом деле, при всех четных $P$ и она означает невозможность "механического" построения всех последующих "высших приближений" ни в "первой", ни во "второй" реализациях ПМС.
Вернемся, однако, к случаю $P=2$. Чтобы все-таки выйти из отмеченного затруднения, предположим, что известно не по два, а по три члена в разложениях (2) и (3). Тогда можно рассмотреть, например, функцию $\tilde{\Delta}=\Delta-\Delta_0$. Вычисляя ее асимптотики, ее аппроксимацию $\tilde{\Delta}^{(0)}$, затем определяя $\Delta}^{(1)}=\tilde{\Delta}^{(0)}+\Delta_0$ и подставляя $\Delta}^{(1)}$ в (15), получим аппроксиманту $\tilde{F}^{(1)}$, в точности совпадающую с дробью ММП $[1/3]_{3,2}$. Если же рассмотреть не $\tilde{\Delta}$, а $\tilde{\tilde{\Delta}}=\Delta-\Delta_{\infty}$ и проделать с ней то же самое, то получим $\tilde{\tilde{F}}^{(1)}$, совпадающую с рациональной дробью ММП $[1/3]_{2,3}$. Следовательно, и в этом, "улучшенном" варианте алгоритма ПМС получаются частные случаи аппроксимант ММП. Данное утверждение, на самом деле, является общим для всех целых значений $P$. Таким образом, оригинальности или продвижения по сравнению с ММП здесь нет. И если в модифицированном методе Паде при данном $N$ еще имеется некоторый выбор аппроксимант за счет перебора разных $l$ и $m$ и возможного произвола в коэффициентах (вроде произвола с $q_1$), то в ПМС аппроксиманта единственна (если вообще пригодна). Кроме того, система линейных уравнений для коэффициентов двухточечных аппроксимант Паде может быть решена на $N\gg1$, в то время как величины $\Delta_n ^{(0)}$ получаются в результате многократных и длинных разложений всех функций $\Delta_i,\quad 1\le i \le n$, производимых вручную.
2.2. Первая реализация ПМС
Рассмотрим теперь "первую реализацию" высших приближений ПМС (16) для (2) и (3) в случае $P=1$:
$F^{(N)}(x)=\left(1+x+\sum_{i=1}^N \frac{A_i x^i}{1+B_i x^{2i-1}}\right)^{-1},\quad N=1,2,3,... .\qquad(19)$
Здесь $A_i x^i = (\delta_i)_0,\quad B_i x^{2i-1}=(\delta_i)_0 /(\delta_i)_{\infty}$. При $N=0$ и $N=1$ она тождественно совпадает со "второй реализацией", а при $N\gt 1$ никак с ней не связана (приведенная же в [1] "связь", на самом деле, есть связь между определениями функций $\Delta_2$, $\delta_1$ и $\delta_2$ до построения аппроксимаций последних). При данном $N$ формула (19) представляет собой отношение двух длинных полиномов вида $Q_{N^2}/Q_{N^2 +1}$ и, следовательно, не сходится при конечных $N$ даже к рациональным дробям $[L/L+1], \; L\ge 2$, например, к (7), в отличие от ММП. В "первой реализации", так же как и во "второй", возможно возникновение сингулярностей и нулей, если $(\delta_i)_0$ и $(\delta_i)_{\infty}$ имеют разные знаки. Имеется также аналогичное (18) затруднение при четном $P$. Наконец, резкоменяющиеся функции типа $x^n /\left(1+B_n x^{2n-1}\right)$, безусловно, не самым лучшим образом аппроксимируют гладкую $F(x)$ в средней области, так что в сходимости "первой реализации" (19) к $F(x)$ при $N\to\infty$ есть сомнения и по этой причине.
В свете вышеустановленного декларация в [1] "приведенного метода сращивания асимптотических разложений", как некоего "более последовательного метода", разработанного для "функциональных последовательностей", представляется нам ничем не оправданным, беспочвенным преувеличением.
3. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ ПОДХОДОВ К ПОСТРОЕНИЮ БИАСИМПТОТИЧЕСКИХ АППРОКСИМАЦИЙ
Нетрудно понять, что тупиковые ситуации типа (10), (18) и ухудшения точности, как в примере (11), происходят в ПМС из-за наивной многократной эксплуатации одной и той же формы (12), в стремлении построить $F^{(N)}(x)$ "механическим способом". Между тем, аппроксимитующих зависимостей, имеющих заданные асимптотики, существует бесчисленное множество, и без опоры на это обстоятельство, очевидно, не обойтись. Совсем, например, не обязательно строить $F^{(0)}$ по формуле (12), а $\Delta_n$ - по (14) или (16). Функция $F^{(0)}$ должна иметь лишь нужные ведущие асимптотики, а формулы для функций типа $\Delta_n$ - быть разрешимыми относительно $\Delta_{n-1}$ (или относительно $F$, что одно и то же): $F(x)=\Phi(\Delta_i,F^{(0)})$. Поступая таким образом, можно получить большой выбор аппроксимант и, в частности, добиться одинаковых знаков у асимптотик функций $\Delta_n$ во избежание "неприятностей". Иными словами, построение аппроксимант это всякий раз индивидуальный творческий, а не "механический" процесс, учитывающий информацию не только "асимптотического" характера. Мы, однако, не будем здесь развивать эти очевидные соображения, оставляя их в качестве упражнения для читателя, а обратимся к работе [9], также решающей задачу приближения сложной функции $W_1$ путем конструирования более простой функции $W_2$ по обоим разложениям (2) и (3) ("способ предельных точек"):
"Если в рядах сохранить только первый один, максимум - два члена, то обычно без больших затруднений удается подобрать другую, более простую функцию $W_2$, имеющую приблизительно такие же разложения для больших и малых значений $x$. При этом, очевидно, функции $W_1$ и $W_2$ в двух предельных точках ($x\to 0$ и $x\to\infty$) будут иметь примерно одинаковые значения, а также подобные характеры их изменения и соответственно близкие значения вблизи предельных точек. При промежуточных значения аргумента ($0 \lt x \lt \infty$) значения функций $W_1$ и $W_2$ могут, вообще говоря, значительно различаться. Однако, как показывают сравнительные расчеты, для монотонных функций эти различия в большинстве случаев лежат в пределах погрешностей, допустимых для приближенных расчетов. В случае же необходимости можно уменьшить эту погрешность либо путем воспроизведения большего числа членов разложений (2) и (3) с соответствующим усложнением аппроксимирующей функции, или же путем введения поправочного множителя для грубого приближенного учета разности $W_1-W_2$. Очевидно, способ "предельных точек" не дает и не может дать однозначного решения. В данной работе не удалось также оценить погрешность аппроксимации, и оценка ее погрешности ... осуществлялась путем прямого расчета исходной и аппроксимирующей функций. Однако в ряде практических расчетов ... такой способ может оказаться полезным". (Далее в [9] идут конкретные примеры).
Мы процитировали отрывок из [9] с целью подчеркнуть лишний раз, что задачу аппроксимации функций по асимптотикам успешно решают давно, что налицо понимание многовариантности возможных решений, и что получение теоретических оценок точности биасимптотических аппроксимант в промежуточной области представляет собой нерешенную проблему. (Хотя всё вышеизложенное и известно авторам работы [1], они, к сожалению, избегают упоминать работы [9,10] и обсуждать возникающие в ПМС проблемы, предпочитая "иллюстрировать эффективность ПМС" подстановкой известных асимптотик в формулу (12). Если при этом аппроксиманта, уже построенная и опробованная другим автором, получается формально и в ПМС, то говорится о ее "более последовательном обосновании" при помощи ПМС).
Прежде чем обсудить ключевую проблему оценок точности в промежуточной области, рассмотрим несколько элементарных примеров.
3.1. Примеры
3.1.1. Решить приближенно уравнение $ctg(\lambda)=x\cdot\lambda$, где $x\in[0,\infty]$.
Разложения первого корня при больших и малых $x$ есть: $\lambda_{x\to 0}\approx \frac{\pi}{2}(1-x+...);\quad\lambda_{x\to\infty}\approx\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1-\frac{1}{6x}+...\right)$. Простейшей аппроксимацией, учитывающей лишь ведущие асимптотики, может быть функция $\tilde{\lambda}(x)=\frac{\pi}{2}\left(1+\frac{\pi^2}{4}x\right)^{-1/2}$ (тонкая красная кривая на Fig. 5). Численный анализ показывает, что ее погрешность не превосходит 2.5% [10]. Хорошая точность аппроксиманты $\tilde{\lambda}(x)$ обусловлена случайной близостью следующих членов ее разложений ( $-\frac{\pi^2}{8}x$ и $-\frac{2}{\pi^2}\frac{1}{x}$ ) к неучтенным членам разложений точной функции, выписанным выше. (Случайности случаются, вспомним Планка).
Нулевое приближение ПМС есть $\lambda^{(0)}=\frac{\pi}{2}\left(1+\frac{\pi}{2}\sqrt{x}\right)^{-1}$, см. толстую синюю кривую на Fig. 5. У $\lambda^{(0)}(х)$ наоборот, следующие члены разложений совсем не похожи на члены разложений $\lambda (x)$ и поэтому точность $\lambda^{(0)}$ получается не очень, порядка 45%. Первое приближение ПМС $\lambda^{(1)}=\frac{\lambda^{(0)}}{1+\lambda^{(0)}\Delta^{(0)}}$ с $\Delta^{(0)}=-\frac{\sqrt{x}}{1+\pi\sqrt{x}/2}$ получше - его погрешность не превышает 9% (тонкая зеленая кривая).
Fig. 5.
3.1.2. Решить приближенно уравнение $r^3+x\cdot r -1 = 0$, где $x\in[0,\infty]$.
Первый вещественный корень этого уравнения $r (x)$ имеет разложения: $r_{x\to 0}\approx 1-x/3+0\cdot x^2+...,$ $r_{x\to\infty}\approx \frac{1}{x}\left(1-\frac{1}{x^3}+...\right)$.
Рациональные дроби ММП есть:
$[0/1]_{1,1}=\frac{1}{1+x},\quad [1/2]_{2,2}=\frac{1+2x/3}{1+x+2x^2/3}, \quad [2/3]_{2,4}=\frac{1+2x/3+x^2}{1+x+2x^2/3+x^3}.\qquad(20)$
Другие виды аппроксимант:
$\tilde{r}=\left(1+x^2\right)^{-1/2},\quad \tilde{\tilde{r}}=\left( 1+5x/3+5x^2+x^5\right)^{-1/5}.\quad(21)$
Для сравнения точности полученных формул построены графики на Fig. 6. Заметим, что график точной функции практически линеен до значений $x\approx 1$, так как коэффициент разложения при $x^2$ равен нулю. Все построенные аппроксиманты не учитывают этого факта и имеют ненулевые квадратичные члены разложений в нуле, поэтому и дают погрешности вблизи $x\approx 1$.
Fig. 6.
3.1.3. Пусть у функции $f(x)=\left(1+x+x^2\right)/\left(1+3x+1.4x^2+x^3\right)$ известно по два члена каждого разложения: $f_{x\to 0}\approx 1-2x+...,$ $f_{x\to\infty}\approx \frac{1}{x}(1-0.4x+...)$. Построим по ним разные аппроксиманты: простейшая это $[0/1]_{1,1}=1/(1+x)$, а рациональная дробь второго порядка сингулярна: $[1/2]_{2,2}=(1-5x/3)/\left(1+x/3-5x^2 /3\right)$. В ПМС это выражается в том, что $\Delta_0=x$ и $\Delta_{\infty}=-3/5$ имеют разные знаки и формальное построение $\Delta^{(0)}$ дает нули в знаменателях $\Delta^{(0)}$ и $F^{(1)}$ (не "сростаются" асимптотики). Иные аппроксимации: $\tilde{f}=\left(1+6x+1.2x^2+x^3\right)^{-1/3}$, $\tilde{\tilde{f}}=\left(1+x^2\right)^{-1/2}\left[1+2x/(1+5x^2)\right]^{-1}$. Эти приближения и их отношения к точной функции приведены на Fig. 7.
Fig. 7.
Из графиков видно, что аппроксиманты, не совпадающие с рациональными дробями, ничем не хуже рациональных дробей. Таким образом, по данным разложениям в принципе всегда можно построить положительную конечную аппроксиманту, учитывающую все известные в наличии члены разложений, и такое построение не единственно. Возникает проблема выбора, едва ли не целиком определяемая заранее неизвестной точностью полученных аппроксимант.
4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) БИАСИМПТОТИЧЕСКИХ АППРОКСИМАНТ
Чтобы оценить точность данного приближения, очевидно, необходимо иметь гораздо лучшее приближение, чем данное. В асимптотических областях, то есть, при $x\to 0$ и $x\to\infty$, работают асимптотические оценки по первому отброшенному члены. В промежуточной области (область конечных $x$) никакие асимптотические оценки не имеют места и, следовательно, они принципиально не возможны. Если о функции ничего не известно, кроме ее положительности и конечности, то и об аппроксимантах ничего нельзя сказать, кроме того, что они ограничены относительно точной функции: $\tilde{F}=O(F)\;\forall x\in[0,\infty]$. Практика показывает, что для ряда "хороших" функций точность аппроксимант увеличивается с ростом числа учтенных членов, хотя не всё так однозначно. Если известно по одному-двум членам каждого из разложений (2) и (3), то, как правило, об $\tilde{F}$ можно говорить, как об оценке $F$ в несколько десятков процентов, или в крайнем случае - как об оценке $F$ по порядку величины. Если же известно по три-четыре и больше членов разложений, то можно достичь точности в единицы процентов и более. Но не имея никакой независимой численной информации о поведении функции в промежуточной области, говорить определенно о какой-то достигнутой точности по прежнему проблематично. Поэтому довольно мощным и универсальным методом оценки точности, на наш взгляд, может служить графический метод, заключающийся в следующем. По каждому асимптотическому разложению (2) и (3) отдельно строятся обыкновенные АП или другие нелинейные аппроксиманты, хорошо приближающие искомую функцию не только в бесконечно-малой окрестности точек разложения, но и в прилегающих к ним конечных областях изменения переменной $x$. Тем самым области, где функция известна с высокой точностью, становятся разделены лишь некоторым конечным численным интервалом, на котором искомая функция изменяется почти линейно. Часто при этом бывает, что области высокой точности таких "односторонних" аппроксимант даже перекрываются друг с другом; в противном случае сопряжение "односторонних" решений можно выполнить "методом лекала". "Метод лекала" включает в себя, конечно, не только кривые, сопряженные "под лекало" от руки, но и аналитические интерполяции между "надежными" ветками односторонних аппроксимант. Такая графическая аппроксимация, обладая высокой точностью, сама по себе уже прекрасно служит задаче вычисления функции в промежуточной области изменения $x$. Кроме того, она позволяет оценить точность и подобрать подходящую аналитическую аппроксимацию из всего многообразия аппроксимирующих зависимостей. Всё! При этом важным становится уже не буквальное воспроизведение биасимптотической аппроксимантой всех членов разложений, а более полное ее соответствие точной (графической) функции, которого можно добиться вариациями коэффициентов (как в (6)) и аналитических зависимостей. Наконец, "биасимптотическая" аппроксиманта не обязательно должна быть одной аналитической формулой, но может состоять из двух и более частей, а также может удовлетворять каким-либо дополнительным условиям, например, быть аналитически интегрируемой, и т. д. Одним словом, при аппроксимации функций по асимптотикам, вместо ориентации на какую-нибудь одну формулу, правильнее все многообразие подходов и формул ориентировать на конкретную функцию.
4.1. Трудный пример
В заключение рассмотрим в качестве примера следующий интеграл, являющийся нульмерным аналогом континуального интеграла в квантовой теории поля с невырожденным вакуумом [5], где $g$ есть аналог константы взаимодействия:
$I(g)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2-gx^4}dx, \qquad(22)$
$I_{g\to0}\approx \sum_{k=0}^{\infty}\; (-g)^k \frac{\Gamma(2k+1/2)}{k!}\approx 1.772(1-0.75g+3.281g^2-27.07g^3+...),\qquad(23)$
$I_{g\to\infty}\approx\frac{1}{2g^{1/4}} \sum_{k=0}^{\infty}\; \left(\frac{-1}{\sqrt{g}} \right)^k\frac{\Gamma(k/2+1/4)}{k!}\approx \frac{1.813}{g^{1/4}}(1-0.338/\sqrt{g}+0.125/g+...).\qquad(24)$
Ряд в нуле (23) имеет быстро растущие коэффициенты и не годится для сколь-нибудь полезной экстраполяции функции в области больших $g$. Разложение на бесконечности (24) по степеням $1/\sqrt{g}$ сходится гораздо лучше.
Построим вначале по каждому из этих разложений обычные АП. Возьмем первое из разложений (23). Поскольку при $g\to\infty$ функция $I(g)$ убывает как $g^{-1/4}$, то рассмотрим вместо нее функцию $I^4 (g)$. Тогда АП порядков [N/N+1] для нее в пределе $g\to\infty$ будут иметь такое же поведение $C_N g^{-1}$ и, можно надеяться, будут быстрее и равномернее сходиться к исходной функции, чем АП для (23). Действительно, отношения $[N/N+1]_{\infty}^{1/4}/I_{\infty}$ с ростом $N$ монотонно стремятся к единице:
$[0/1]_{\infty}^{1/4}/I_{\infty}\approx 0.743,$
$[1/2]_{\infty}^{1/4}/I_{\infty}\approx 0.806,$
$[2/3]_{\infty}^{1/4}/I_{\infty}\approx 0.837, ... .$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Отступление. Кстати, аналогичная сходимость с ростом $N$ наблюдается и для односторонних аппроксимаций энергии основного состояния ангармонического осциллятора $\left(E_0\right)_{\infty}\propto g^{1/3}$ с ангармоничностью $gx^4$:
$[1/0]_{\infty}^{1/3}/(E_0)_{\infty}\approx 1.236,$
$[2/1]_{\infty}^{1/3}/(E_0)_{\infty}\approx 1.137,$
$[3/2]_{\infty}^{1/3}/(E_0)_{\infty}\approx 1.099,$
$[4/3]_{\infty}^{1/3}/(E_0)_{\infty}\approx 1.079, ...$
Конец отступления.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Красная кривая на Fig. 8 изображает несложную аппроксиманту $[1/2]^{1/4}(g)$, которая правильно начинается в нуле с 1.772, но потом уходит несколько вниз по отношению к точной (черной) кривой.
Fig. 8.
По разложению $I(g)$ на бесконечности мы также будем строить аппроксиманты Паде, равномернее приближающие функцию во всей области изменения $g$, т.е., качественно учтем поведение $I$ на другом конце интервала. Поскольку при $g\to 0,$ $I(g)\to const=\sqrt{\pi}\approx 1.772$, то попробуем строить АП порядков $[N/N+1](1/\sqrt{g})$ для функции $\left(g^{1/4}\cdot I\right)^2$. Простейшая такая аппроксиманта есть: $\tilde{I}=(1/2g^{1/4})[0/1]^{1/2}(1/\sqrt{g})=1.813/(0.676+\sqrt{g})^{1/2}$; в нуле она равна 2.205. Аппроксиманта следующего порядка $(1/2g^{1/4})[1/2]^{1/2}(1/\sqrt{g})$ учитывает четыре члена разложения (24), но она сингулярна - все коэффициенты при степенях $g$ отрицательны, и, следовательно, она не пригодна во всей области изменения $g$. Приближение для $I(g)$, учитывающее три члена разложения на бесконечности и выходящее на константу в нуле, есть $(1/2g^{1/4})[0/2]^{1/4}(1/\sqrt{g})=1.813/(0.6424+1.352\sqrt{g}+g)^{1/4}$; в нуле она равна 2.025, синяя кривая на Fig. 8. Она очень хорошо приближает точную кривую почти во всем интервале $g$, но несколько задирается вверх в нуле.
Fig. 8 показывает, что использование в этом примере лишь качественной информации о поведении искомой функции вдали от точки разложения позволило построить "односторонние" аппроксиманты, равномерно приближающие $I(g)$ во всем интервале изменения аргумента. Синюю и красную кривые на Fig. 8 можно соединить с помощью лекала или с помощью интерполяционной кривой типа $a+bg+cg^2+dg^3$, начинающейся, скажем, в $g\approx 0.2$, кончающейся в $g\approx 1.25$ и касательной к цветным кривым в этих точках. Имея очень точную графическую кривую, можно оценивать точность разнообразных биасимптотических аппроксимант и осознанно теперь выбирать среди них наиболее нам подходящую.
Займемся наконец аппроксимированием $I(g)$ по обоим разложениям (23) и (24) одновременно. Простейшая функция, учитывающая по одному ведущему члены каждого разложения, есть: $[0/1]_{1,1}^{1/4}(g)=\sqrt{\pi}/(1+0.914g)^{1/4}$. Ее точность в промежуточной области порядка 10% (на рисунке ее нет). По два члена учитывает функция: $[1/3]_{3,2}^{1/4}(\sqrt{g})=\sqrt{\pi}\left(\frac{1+1.689\sqrt{g}}{1+1.689\sqrt{g}+3g+1.543g^{3/2}}\right)^{1/4}$; ее наибольшая погрешность - порядка 1% (тонкая красная кривая на Fig. 9). Аппроксиманта $[1/2]_{3,1}(g)$ для $I^4$ сингулярна. Положительными и конечными являются приближения: $[0/2]_{1,2}^{1/4}(\sqrt{g})=1.813(1.094+1.352\sqrt{g}+g)^{-1/4}$, $[0/2]_{2,1}^{1/8}(g)=\sqrt{\pi}(1+6g+0.835g^2)^{-1/8}$, более громоздкая $[2/4]_{4,3}^{1/4}(\sqrt{g})$ и так далее. Погрешности этих биасимптотических аппроксимант можно оценить путем сравнения с односторонними или графическими аппроксимациями, а также (в данном случае) сравнением с точной функцией $I(g)$ (черная кривая на Fig. 9). Их графики мы тоже не приводим, дабы избежать путаницы на рисунке.
Первые же две аппроксиманты ПМС $F^{(0)}=\frac{1.772}{1+\frac{1.772g^{1/4}}{1.813} }$ и $F^{(1)}=\frac{F^{(0)}}{1-F^{(0)}\frac{g^{1/4}}{1.813+1.772g^{1/4}}}$, если этот метод формально применять к самой функции $I(g)$, дают большую погрешность (синяя и зеленая кривые на Fig. 9). Здесь опять всё дело в техническом неучете вторых членов разложений (23), (24), что указывает на важность именно творческого, а не "механического" подхода в деле аппроксимирования.
Fig. 9.
В заключение отметим, что для функций, параметрически зависящих от других переменных, конкретные формулы аппроксимант, вообще говоря, неравномерно приближают исходную функцию при изменении параметров, что было показано в примере (7). Тем более ясно, что не совпадают аналитические свойства $F$ и $\tilde{F}$ на комплексной плоскости $z=x+iy$.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Кашин А. П., Кварацхелия Т. М., Максимов М. З. Чиковани З. Е. //ТМФ, 1989, Т. 78, N. 3, стр. 382.
[2] Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.
[3] Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951.
[4] Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксиманты Паде. М.: Мир, 1986.
[5] Казаков Д. И., Ширков Д. В. Суммирование асимптотических рядов в квантовой теории поля: Лекции для молодых ученых. Дубна: ОИЯИ, 1980.
[6] Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985.
[7] Martin P., Donoso G., et al. // J. Math. Phys. 1980. V. 21. N. 2. p. 280.
[8] Hendriksen E. J. //J. Appr. Theor. 1984. V. 40. p. 313.
[9] Костенко М. В. //Изв. Вузов. Энергетика. 1958. N. 9. стр. 35-44.
[10] Костенко М. В. //Электричество. 1982. N. 9. стр. 72-77.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P.S. Как мы видели, перебором разных аппроксимирующих зависимостей и использованием большого числа подгоночных параметров можно добиться неплохого соответствия между аппроксимантой и точной функцией ("экспериментом"). Максимов претендовал на чуть ли универсальный и единственный "научный рецепт" построения аппроксимант для функций, что, конечно, смешно. Но в современной теоретической физике именно такие претензии и заявляются - мы знаем "принципы " и рецепты, которые "правильны и единственны" (критерий - хорошее согласие с экспериментом), при этом число подгоночных параметров разрослось до неприличия - получается что-то вроде панасоиды), переделки плохих решений в хорошие на ходу подаются, как следование "принципам", а другие подходы к физике (переформулировка) на этом основании отвергаются - просто не финансируются и даже не принимаются к публикации. Это вредная, антинаучная практика, скажу я вам.
"Согласие с экспериментом" не является "критерием правильности" и "доказательством единственности" теории (аппроксимации), как это пытаются представить современные теоретики-самохвалы. Им, краснобаям и мифотворцам, не следует забывать о многообразии способов получения соответствий, а нам следует им об этом напоминать каждый раз, когда они рядятся в белые одежды и пускаются рассказывать лестные для себя, но ложные по сути байки.
Комментариев нет:
Отправить комментарий