Про вредную фигню с тремя точками $\dot{\ddot{\mathbf{r}}}(t)$

Продолжаю обсуждать статью из [1]. В статье приведено несколько решений и рассмотрена их "физичность", чтобы убедить читателя, что нефизичность часто не страшна. В частности, дано решение и для осциллятора. Оно получается всегда затухающим, а это всё, что нужно для полного счастья. Вот пример "сильной связи", когда затухание велико (Fig. 5 из [1]):

Нас интересует сплошная черная кривая $Y \propto e^{-0.233t}\sin(0.793t)$, а не решение незатухающего осциллятора (прерывистая линия).

Для осциллятора решение кажется безупречным, так как никакого фальстарта и непричинности в таком $Y$ не видно. Поэтому, покупайте уравнение с тремя точками!

Однако не все хотят пользоваться таким уравнением, а хотят пользоваться приближенным уравнением с $\dot{\mathbf{F}}_{ext}$. Для сравнения я нарисовал графики решений обоих уравнений с функционально разными силами реакции излучения:

$\ddot{Y}+\omega^2 Y = \varepsilon \dot{\ddot{Y}}\qquad (1)$

$\ddot{\tilde{y}}+\omega^2 \tilde{y} = -\varepsilon\omega^2 \dot{\tilde{y}}\qquad(2)$

Синяя кривая это точное решение $Y(t)=\frac{1}{0.793}e^{-0.233t}\sin(0.793t)$ уравнения с тремя точками (1) в случае "сильной связи" заряда и поля, как в статье ($\varepsilon =1, \;\omega=1$), а красная - решение $\tilde{y}=\frac{2}{\sqrt{3}}e^{-t/2}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t$ уравнения (2) с "трением", пропорциональным скорости. Качественно функции и графики похожи даже при сильном затухании колебаний, а в случае более реалистичного, слабого затухания - и подавно. (Сильное затухание может иметь место, например, в случае легких кварков, сильно взаимодействующих с глюонами). Но уравнение с $\dot{\mathbf{F}}_{ext}$ не требует знания неизвестного будущего и его решения "причинны" - пока нет внешней силы, нет ни ускорения, ни излучения. Поэтому такие умные люди, как Ландау-Лифшиц и многие другие предпочитают его, а не уравнение с вредной фигней с тремя точками.

Вообще, чтобы принимать в теорию новые свойства уравнений и решений, нужны, прежде всего, экспериментальные предпосылки, а не заверения, что непричинность "часто мала". Мы же ее вообще не задумывали, когда пытались учесть реакцию излучения. Это очередное "теоретическое открытие", сюрприз, и его надо сначала проверять, искать ситуации, когда "эффект" существенен и делать эксперименты, а не успокаивать народ байками про известность будущего. И потом, когда непричинность мала, зачем на ней настаивать, тем более, что люди уже придумали более простое и причинное уравнение с таким же численным решением?

Я думаю, только затем, чтобы придать законности плохому способу получения плохого уравнения. Вредная фигня с тремя точками остается от отбрасывания электромагнитной массы, что не есть расчет. И очень хорошо, что остаток получается "строптивым" - это указание на неверность метода и физики, за ним стоящей.

Здесь вот еще, что интересно - для описания одного и того же явления уже имеется два уравнения разной степени "физичности" и точности, а это означает, что их можно придумать больше, чем два. Сколько придумаем, столько и будет. Например, если посмотреть на приближенное уравнение с заданной внешней силой $f(t)$, записанное в виде ряда Тейлора (формула (30) в [1]), то при разных $N$ "причинные" уравнения будут разные:

$ma(t)=\sum_{n=0}^N\frac{1}{b^n}f^{(n)}(t)\qquad(3)$

и количество необходимых начальных констант $f^{(n)}(0)$ для них будет разным. Понятно, что при заданной экспериментальной точности даже в рамках (3) можно найти множество разных уравнений, описывающих полученные экспериментальные данные с заданной точностью. Я это к тому, что совершенно неправильно настаивать на единственности уравнения, и эксперимент не выдает сертификатов правильности и единственности теории. Всяко может быть и только человеческое стремление к догме, к аксиоме в физике, и к скорейшей славе мешает поиску других вариантов. Я тоже ищу один вариант, поэтому и не принимаю категоричных утверждений про критерий истинности теории, равно как и намеки на связи некоторых с богом, гарантирующими "безошибочность".


P.S. Кстати, автор обсуждаемой статьи сделал ошибку, нарисовав $Y=e^{-0.233t}\sin(0.793t)$ рядом с $Y^{(0)}=\sin(t)$, так как начальные скорости у него получились разными. Я же привел цветные графики решений с одинаковыми (единичными) начальными скоростями.