Fishers in the snow: Объяснение перенормировок на примере птичек и бабочек

_____________________________________________________________________________Visit and join this Advanced Physics Forum:

пятница, 26 августа 2011 г.

Объяснение перенормировок на примере птичек и бабочек

Это некоторый повтор изложения, размещенный на сайте http://dxdy.ru, обновляемый здесь и уточняемый с учетом происходящей дискуссии (English version is here).


Я все пытаюсь объяснить почему люди делают перенормировки констант в КТП, и вот написал совсем простенькое объяснение. Суть его в том, что мы совершаем концептуальную и математическую ошибку при попытке "включить" взаимодействие там, где оно на самом деле уже есть. То есть, "включаем" мы его не правильно и во второй раз. Увы, наши представления о том и сем оказались не точны. Я понимаю, это звучит радикально, но такого же мнения были и отцы КЭД, если вспомнить их высказывания об этой проблеме.  Современные же аргументы в пользу перенормировок на самом деле еще более радикальны.

Технически наше "включение" выглядит, как добавление, как я установил, кинетических членов "ради спасения законов сохранения", что, разумеется, меняет инерционные члены в исходных хороших (феноменологических) уравнениях и приводит к плохим результатам расчетов. Избавление от вкладов этих кинетических членов в исходные феноменологические (фундаментальные) константы путем насильственного отбрасывания вредных и никому ненужных поправок восстанавливает предсказательную силу уравнений и оставляет то полезное, что все-таки (случайно правильно) содержится в нашем неправильном "взаимодействии".

Моя игрушечная модель проста и точно решаема. В частности, она точно перенормируема. В ней есть точная связь между "затравочными" и "физическими" параметрами, на основе которой, если очень захотеть, строится смешная ренорм-группа. Ультрафиолетовые и инфракрасные расходимости тоже присутствуют в моей механической модели, так что модель весьма поучительная и реалистичная. Хотите посмотреть на уравнения в терминах чисто физических параметров - тогда Вам сюда!

В реалистичных задачах квантовой теории поля перенормировки выполняются только пертурбативно, а взаимодействие, говорят, "выключается" в асимптотических областях, и все это полностью затмевает суть постоянного взаимодействия, остающегося после выполнения перенормировок. Поэтому и неудовлетворенность перенормировками может быть, и физическая суть всего расчета остается не постигнутой.

Толкование перенормировок глубоко ошибочно. Вся эта идеология "затравочных" частиц и их "взаимодействий" - чепуха. Ничего этого нет, а есть наши концептуальные ошибки, которые приходится исправлять в негодных решениях, "принуждая" ошибочную теорию описывать известные данные. Исправление решений есть исправление исходных уравнений или исходной физической модели, не так ли?

В простых случаях перенормировки могут "работать", но вообще говоря - нет. И это не козни природы или хитрости взаимодействий на малых расстояниях, нет. Это просто закономерный провал ошибочных представлений в физике. Ни релятивизм, ни квантовость здесь не причем.

Свою модель я вывел из квантовой электродинамики, упростив ее до одной нерелятивистской частицы и одного фотонного осциллятора. А оттуда до механической задачи рукой подать, заменив обозначения.

Итак, к делу. Пусть у нас есть некое маленькое макроскопическое тело (шарик), чье ускорение возбуждает звуковые волны. Для большего сходства с проблемами электродинамики, будем, однако, предполагать, что внутреннее устройство тела нам не известно. Такое может случиться, если поначалу и потом еще долгое время мы описываем движение тела во внешнем поле уравнениями Ньютона для одной частицы (particle): 

$ M_p \ddot{\mathbf{r}}_p (t) = \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t) \quad (1)$

и вполне этим описанием довольны, ну как в небесной механике. И поскольку тело наше маленькое, гораздо меньше, чем тела небесные, и, перебрасываясь им на пляже, мы ничего нового не наблюдаем, то мы даже выдвигаем фундаментальную идею, что оно точечное и элементарное (элементарная частица), что уравнение (1) окончательное, ну и что мы тогда - фундаментальные физики.

Проходят годы и вот экспериментаторы обнаруживают волны, пусть одной для простоты частоты, целиком определяемые ускорением частицы под воздействием внешнего поля. Опять таки, для простоты мы будем говорить о звуковых волнах, хотя они могут быть и электромагнитные. Когда я говорю "целиком определяемые", это значит наши доблестные экспериментаторы смогли установить и этот факт. Например, легонечко постукивая по частице динамометром (или наоборот), они меняли от раза к разу величину силы, длительность ее воздействия и сравнивали измеренные амплитуды звука с решением уравнения осциллятора с вынуждающей силой, пропорциональной ускорению нашего тела.

 
Столкновение тела с динамометром (ускорение) возбуждает звуковые волны.

Сошлось хорошо и описалось уравнением (трехмерного для простоты) осциллятора, которое мы теперь выписываем рядом с уравнением частицы:

$M_{osc} \ddot{\mathbf{r}}_{osc}+k \mathbf{r}_{osc}= \alpha M_{osc} \ddot{\mathbf{r}}_p (t) \quad (2a)$

или уравнением с частотой и вынуждающей силой, но без неизвестных нам массы  $M_{osc}$ и коэффициента упругости $k$ истинного осциллятора: 

$\ddot{\mathbf{r}}_{osc}+\omega^2 \mathbf{r}_{osc}= \alpha \ddot{\mathbf{r}}_p (t)\quad (2b) $

Здесь $\alpha$ есть безразмерный коэффициент эффективности возбуждения колебаний ускорением частицы ("константа связи"). Частота $\omega$ и  коэффициент $\alpha$ считаются экспериментально известными,  а единицы измерения $r_{osc}$ могут быть выбраны так, что это будет чуть ли не амплитуда колебаний воздуха, измеряемая датчиком. В любом случае звуковая амплитуда считается пропорциональной амплитуде того истинного осциллятора, про который мы еще мало что знаем. Экспериментаторы полагают, что это само тело так вибрирует, но измеренная жесткость тела, его масса и размеры никак не обеспечивают наблюдаемую и единственную частоту, так что измерения и исследования все еще продолжаются, а уравнения уже есть.

Ну и вот, пара наших уравнений (1) и (2) очень похожа на уравнения движения заряда во внешнем поле и уравнения электромагнитного поля, излучаемого зарядом, в которых все константы экспериментально измеримы и хорошо известны. Каждая из этих динамических систем по отдельности (частица во внешнем поле и свободный осциллятор) имеет свой Лагранжиан. Приращение полной энергии осциллятора за время $dt$ есть: $dE_{osc}=\alpha M_{osc} \dot{\mathbf{r}}_{osc} \ddot{\mathbf{r}}_p dt$.

Далее, как и в электродинамике, мы можем задаться вопросом, а как написать самосогласованную систему уравнений, чтобы полная энергия сохранялась? Ведь наша частица при ускорении теряет часть своей энергии на возбуждение волн, а из уравнения (1) этого не видно. Пусть эта энергия и мала, и, возможно, была до сих пор незаметна, но все равно, не порядок. Надо учесть потери энергии для полноты теории, думаем мы. И делаем следующий шаг - выдвигаем "Лагранжиан взаимодействия" двух динамических систем. Чего, собственно, мы хотим? Оставить без изменения и без того хорошее волновое уравнение и добавить некий член "трения" в механическое уравнение (1) для  учета потерь. Сказано - сделано. Наиболее общий вид Лагранжиана взаимодействия имеет вид:

$L_{int} = -\alpha M_{osc} \left( \mathbf{v}_p \mathbf{v}_{osc} - \frac{\eta}{2}\mathbf{v}_p^2 \right)\quad (3) $

Здесь перекрестный член дает нужный вклад в волновое уравнение, а квадратичный по скоростям частицы член описывает самодействие частицы в узком смысле этого слова. Последний записан для аналогии с электродинамикой, и, казалось бы, не вносит никакого вклада в уравнение осциллятора, a определяется конкретной моделью потенциального самодействия. Коэффициент $\eta$ зависит, таким образом, от обрезания в модели и может расходится, если закрутить гайки. Новые, "самосогласованные" уравнения теперь выглядят так:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}M_p \ddot{\mathbf{r}}_p (t) = \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t) + \alpha M_{osc} \left (\ddot{\mathbf{r}}_{osc}-\eta \ddot{\mathbf{r}}_p\right ), \\ \ddot{\mathbf{r}}_{osc}+\omega^2 \mathbf{r}_{osc}= \alpha \ddot{\mathbf{r}}_p. \end{array}\right}\quad (4a)$

Если захотеть вывести закон сохранения, то пожалуйста, из уравнений (4a) или из полного Лагранжиана по теореме Нетер формально получится:

$E_p + E_{osc} + L_{int} = const$

где $E_p$ и $E_{osc}$ есть полные энергии частицы в поле и свободного осциллятора. Производная по времени от этой комбинации равна нулю. Правда не получилось такого, что когда $E_p$ на сколько-то убывает, то $E_{osc}$ на столько же прибывает, как мы задумывали! Но примерно так же выглядит закон сохранения и в электродинамике. Очень хорошо, думаем мы, и идем дальше. 

Если положить $\alpha = 0$, то мы получаем "невозмущенную", расцепленную систему уравнений. Обычно такое приближение является нулевым приближением в теории возмущений (ТВ). Возьмите любое сечение упругого рассеяния частицы во внешнем поле в квантовой электродинамике в первом Борновском приближении и Вы увидите качественно такую же картину - частица рассеивается, а фотоны не излучаются (осцилляторы не возбуждаются). Книжки полны такими "упругими" результатами - формулы Резерфорда и Мотта, Клейна-Нишины и  Баба, и все в таком же духе. Опять таки, у нас все, как в электродинамике. Осталось только радоваться успеху, как и они радуются и выдают упругие дела за несомненный успех.

Но вместо этого давайте посмотрим теперь на неприятные сюрпризы, появляющиеся в высших порядках ТВ.

Наша задача проще и допускает точное аналитическое решение, поэтому мы этим и воспользуемся, чтобы делать заключения точно, а не гадать "пертурбативно". Для этого давайте перепишем нашу "самосогласованную систему" (4) в другом виде, а именно:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l} M_p \left (1+\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right ) \ddot{\mathbf{r}}_p (t) =\mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t) + \alpha M_{osc} \ddot{\mathbf{r}}_{osc} \\ M_{osc}\left (1-\frac{\alpha^2 M_{osc}}{M_p \left (1+\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right )}\right) \ddot{\mathbf{r}}_{osc}+ k \mathbf{r}_{osc} = \alpha \frac{\mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t)}{M_p \left (1+\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right ) }\end{array}\right}\quad (4b)$

или лучше в виде, дающем определения частоты и константы связи:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l} M_p \left (1+\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right ) \ddot{\mathbf{r}}_p (t) = \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t) + \alpha M_{osc} \ddot{\mathbf{r}}_{osc} \\\ddot{\mathbf{r}}_{osc}+\frac{\omega^2}{1-\frac{\alpha^2 M_{osc}}{M_p \left (1+\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right )}} \mathbf{r}_{osc} = \frac{\alpha}{1-\frac{ \alpha^2 M_{osc}}{M_p \left (1+\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right )}}\frac{\mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t)}{M_p \left (1+\alpha \eta \frac{M_{osc}}{M_p}\right ) }\end{array}\right}\quad (4c)$

Видите, я намеренно сгруппировал "поправки", принесенные $L_{int}$, как множители при массах $M_p$ и $M_{osc}$ в (4b) или при $M_p$, частоте $\omega$ и "константе взаимодействия" $\alpha$ в (4c)). Теперь получается, что точная реакция на внешнюю силу другая - инерционный член уравнения для частицы изменился за счет самодействия; масса осциллятора, а, значит, и собственная частота осциллятора и коэффициент эффективности возбуждения колебаний при внешней силе тоже изменились. Теория возмущений для (4a) дала бы разложения этих поправок в ряды и мы узнали бы о них "потом", а в точной формулировке (4c) все видно точно и сразу. И мы точно можем сказать, что наша благородная попытка спасти законы сохранения провалилась: мы даже в отсутствии внешней силы получили уравнения, нарушающие былое согласие с экспериментальными данными. Мы неожиданно получили другие динамические системы! И какой теперь прок от полученного закона сохранения, если частица отяжелела и осциллятор стал не тот?

Но как же так? Мы же старались не вмешиваться в волновое уравнение, а, например, собственная частота, согласно новым уравнениям, все таки изменилась. Изменилась даже если положить $\eta = 0$. В чем же дело? Наш перекрестный член в (3), оказывается, портит осцилляторное уравнение, так как изначальное уравнение осциллятора, на которое мы ориентировались, содержало известную функцию времени $\ddot {\mathbf{r}}_p (t)$ в правой части (решения известны и физичны), но в (4а) правая часть стала не известной функцией $\ddot {\mathbf{r}}_p$, уравнение которой содержит осцилляторную координату, что прямо влияет на кинетический член осциллятора даже в отсутствие внешней силы. Другими словами, вид уравнения осциллятора в (4а) ("совпадение с (2б)") оказался обманчив, здесь мы и прокололись. Мы не выплонили собственную же программу.

Отцы теории говорили, что мы придумали лажу потому, что не поняли физики, как следует и что надо менять весь подход, все понимание проблемы. Легко сказать, но трудно сделать. В математике мы не ошиблись, она была проста (на первый взгляд), и в физике тоже, как будто исходили из первых принципов и фундаментальных идей. Может быть наша частица не элементарная и все сложнее? Но как? Вспомните попытки считать электрон не элементарным. Да это просто поклеп на фундаментальную физику! Электрон элементарен и точечен, и все тут! Проще него ничего не бывает. И тут вместо переосмысления основ люди стали делать перенормировки констант в негодных уравнениях. В нашем конкретном случае это делается так - все новоявленные множители при массе $M_p$, частоте $\omega$ и константе связи $\alpha$ полагаются равными единице в уравнениях (4c), т.е., в уравнениях, являющихся определяющими для данных фундаментальных констант. И, знаете, работает! Согласие масс, частот и константы связи с экспериментом восстанавливается! Наша точно перенормированная система уравнений выглядит, как паинька:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l} M_p \ddot{\mathbf{r}}_p (t) = \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t) + \alpha M_{osc} \ddot{\mathbf{r}}_{osc}\\ \ddot{\mathbf{r}}_{osc}+\omega^2 \mathbf{r}_{osc} = \alpha\frac{\mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t)}{M_p }\end{array}\right}\quad (5)$

Осцилляторное уравнение так же хорошо, как и прежде - былое ускорение частицы (равное внешней силе, поделенной на массу частицы) по-прежнему определяет возбуждение колебаний осциллятора, уравнение для самой фундаментальной частицы приобрело некий маленький член "трения" (потери на излучение), a главное - все константы в перенормированной системе уравнений только физические, а именно те - из (1) и (2).

Кстати, любителям ренорм-группы: если задействовать идеологию голых (затравочных) частиц для "оправдания" перенормировок, то смотрите, мы получили вообще точные соотношения между голыми константами и физическими, например: $(M_p)_{physical} = (M_p)_{bare} + \alpha_{bare} \eta M_{osc}$ и нечто подобное для константы взаимодействия. Можно изучать полюс Ландау, асимптотическую свободу, или еще что-то, что там получится. Мне, однако, это не интересно и я этого не делал. Мура все это. Потому что я то знаю, почему мы изменили уравнения во второй раз: в первый раз мы ведь облажались. Не было никаких затравочных частиц и их взаимодействий ни в эксперименте, ни в проекте теории, а просто наши уравнения (4) оказались хуже исходных (1)-(2) и мы ничего лучшего не придумали, чем насильственно изменить уравнения еще раз. Это я сам изменил уравнения, а не голые частицы абсорбировали поправки, если хотите всю голую правду.

Такое отбрасывание членов в уравнениях эквивалентно добавлению следующих контрчленов к полному (затравочному) Лагранжиану:

$L_{Phys}=L_{Bare}-\alpha \eta \frac{M_{osc}\mathbf{v}_p^2}{2}+\alpha^2\left(\frac{M_{osc}}{M_p} \right )^2\frac{M_p\mathbf{v}_{osc}^2}{2}\quad (5.5)$

Это означает:

1) полное изъятие из (3) потенциального самодействия частицы (кто бы сомневался в его бессмысленности),

2) оставление там перекрестного члена, нужного для зацепления уравнений и

3) исправление кинетического члена осциллятора, запорченного таким способом зацепления уравнений.

Все, как в КЭД, но с объяснениями. В КТП контрчлены рассматриваются по теории возмущений и вычитания делаются в рядах ТВ, но в нашем примере вычитание можно сделать точно и сразу получить правильную систему (5).


Некоторые говорят, что нельзя измерить по отдельности голую массу и поправки к ней, а "измеряется только их сумма". На этом основании сумма 1+3 заменяется на 1, так как 1 хорошо, а 4 - плохо. Вот такая "теория". Ясно, что это не расчет, а подгонка результатов под эксперимент. Кстати, о сумме. Возьмем частный случай внешней силы, равный силе тяжести $M_p g$. Очевидно, что поправку приобретает только кинетический член (левая часть уравнения), а силовой $M_p g$ остается тем же, так что суммы то и не получается, и экспериментально можно отличить массу тела и поправки к массе в уравнении. И эксперимент говорит, что уравнение для частицы в (4) стало однозначно хуже, чем уравнение (1).

Можно кое-где прочитать, мол, чтобы теория правильно описывала массы и константу взаимодействия, нужно наложить на нее соответствующие "физические требования" и на этом основании изменить в (4b) численные значения коэффициентов. Короче, стоит только потребовать от негодной теории правильных результатов, как она даст! :-) В смысле, она даст нам самим написать их. Ха-ха! И после этого они говорят, что понимают физику! Сейчас посмотрим, как они понимают.

Возьмем перенормированную систему (5) - последнюю версию уравнений. Что мы видим? Осцилляторное уравнение практически отцепилось от "механического" и накачивается непосредственно внешней силой. Это еще ничего, это экспериментаторы подтверждают, но уравнение для частицы приобрело колебания $\propto \ddot{\mathbf{r}}_{osc}$ в виде некоей дополнительной внешней силы! Например, если внешняя сила $\mathbf{F}_{ext}(t)$ кратковременно толкнет частицу и сгинет, тогда осциллятор тронется колебаться по (5)  да и останется с этими, свободными теперь колебаниями, а бедная частица должна им следовать! Для нее эти свободные колебания станут заданной внешней вынуждающей силой и на все времена. Ожидали ли перенормировщики такого вот конца? Нет, конечо. Они вообще взаимодействие $L_{int}$ "адиабатически выключают", когда нет внешней силы и по их понятиям наша элементарная частица должна стать ну совершенно свободной, хотя и рассеянной. А знаете почему они выключают взаимодействие (3)? Не могут никак его учесть даже в отсутствии $\mathbf{F}_{ext}$ - задача и без внешней силы сложна, нелинейна, многочастична, вот и не могут. А мы смогли. (Я еще не выписал этого в явном виде, но даже при учете медленного затухания колебаний член $\ddot{\mathbf{r}}_{osc}$ остается в уравнении для частицы).

И бесполезно мне тут возражать, что, мол, и последние твои уравнения (5), может быть, не верны или не адекватны. Верны и адекватны - они опысывают эксперимент. А что вы хотели, когда придумывали "правильное" взаимодействие частицы и осциллятора, что оно будет односторонним? Оно уже было односторонним в (1), но вас это не устроило. Осцилляции частицы есть обратное воздействие осциллятора на частицу, описания которого мы так рьяно добивались, и не надо от него отказываться. Искомый член "реакции излучения" именно так и выглядит в системе с одним осциллятором. Так что будем расхлебывать заваренную кашу. Да и ничего особенного тут и нет, если подумать. Перенормированные уравнения получились правильными, а неправильными были и все еще остаются наши представления о физике явления. Еще немного терпения, и наши представления исправятся, стоит лишь немного поработать с полученной точной системой.

Объединим кинетические члены в уравнении для частицы в один:

${\mathbf{r}}_p -\alpha \frac{M_{osc}}{M_p}{\mathbf{r}}_{osc}={\mathbf{R}}\quad (6)$
$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}  M_p \ddot{\mathbf{R}}(t) = \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t) \\  \ddot{\mathbf{r}}_{osc}+\omega^2 \mathbf{r}_{osc} = \alpha\frac{\mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_p|t)}{M_p }\end{array}\right}\quad (7)$

Уравнение для $\mathbf{R}$ выглядит, как уравнение для центра инерции двухчастичнй системы, а уравнение для колебаний - как уравнение для относительного движения двух частиц, связанных упругим потенциалом, причем внешяя сила действует только на одну из частиц. Не верите? Возьмите пару связанных частиц с $m_1$ и $m_2$, сделайте замены переменных

$\mathbf{R}_{CM} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 +m_2 \mathbf{r}_2 }{M_{tot}} = \mathbf{r}_1-\frac{m_2}{M_{tot}}(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2),\quad \mathbf{r}_r = \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\quad (8)$.

Вы получите (7) с $M_p=M_{tot}$, $M_{osc}=\mu$ и $\alpha =M_{tot}/m_1$. Амплитуда звуковых волн $\mathbf{r}_{osc}$ может, конечно, отличаться от истинной амплитуды колебаний $\mathbf{r}_r$ за счет дополнительного коэффициента преобразования механических колебаний в звуковые и за счет ослабления амплитуды звука при наблюдении системы на расстоянии $\mathbf{R}$ (что-нибудь вида $1/\mathbf{R}^2$). Но можно эти дополнительные факторы исключить или учесть, так что в целом вполне разумно предположить, что наша частица - часть осциллятора, потому то он и возбуждается, когда частицу толкают. То есть, мы имеем дело со сложной (камертончик), а не элементарной системой. Вот она, правильная физика. Для такой (и более сложной, многомодовой) системы естесственным языком описания является язык глобальных (центр масс) и "внутренних" (относительных) переменных. В их терминах даже не сцепленные друг с другом уравнения описывают сложную систему, а не независимые физические системы, так как независимые друг от друга уравнения написаны просто в разделяющихся переменных. Короче, правильным оказывается квази-частичное описание. Такого понимания физики в теории элементарных частиц еще нет. Там все коллективные возбуждения мыслятся как истинные "элементарные частицы", свободно летающие в пустом пространстве. Даже вечно слепленные в кучу кварки и нелинейные глюоны замысливались, как свободные, в смысле, с определенными квантовыми числами и Лагранжианами свободных частиц частицы, но только "сильно взаимодействующие", а ля (3) или еще крепче.

Продолжаем. Если внешяя сила однородна в пространстве (не имеет пространственных аргументов), то система (7) совпадает по форме с исходной парой уравнений, про которую мы умно думали, что там энергия не сохраняется. Сохраняется. Работа внешней силы складывается из работы по ускорению центра тяжести связанной системы и по накачке колебаний (увеличение внутренней энергии системы). Эти работы аддитивны и нечего нам было спасать в исходных уравнениях, если бы мы правильно их понимали. Думали ли перенормировщики, что точно перенормированные уравнения практически совпадут с исходной парой (1)-(2), где, казалось бы, нет даже закона сохранения?

Исходные уравнения (1), (2b) почти совпадают с перенормированной системой (7) в самом общем случае неоднородной силы. Разница в аргументе силы и в понимании того, что есть что. Вот как надо было "включать" взаимодействие". Кабы мы заранее знали устройство нашей частицы, или хотя бы полагали нашу частицу не элементарной, а с чем-то связанной, с внутренними степенями свободы, то не проходили бы все тяжкие гадания (3) и метания (4a)$\rightarrow$(5), не терпели бы позор неудач, не краснели бы, выдумывая голяка, чтобы объяснить случайное везение при "перенормировании" констант, и не дивились бы инфракрасной катастрофе, про которую я еще не написал, но которая есть просто очень большая амплитуда колебаний частицы в случае очень слабого осциллятора ($ k \rightarrow 0$, $\omega \rightarrow 0$, $|\mathbf{r}_{osc}| \propto 1/\omega \rightarrow \infty $).

Что же получается, если бы мы знали, что уравнение (1) описывает наблюдаемое (а, значит и усредненное) движение, соответствующее центру масс сложной системы, а (2) описывает одну из мод внутреннего (относительного) движения, то, решив найти уравнения для координаты частицы, на которую действует внешняя сила, мы стали бы искать связь типа (6) и все. Но мы этого не знали. Мы искренне думали, что (1) и описывает координату первой частицы, только не совсем точно, без трения. И масса в (1) считалась массой первой частицы, и (2) описывало независимую волновую систему, существующую отдельно и никак не отягощающую первую частицу, а лишь "отбирающую" у нее энергию за счет "трения", которое и возникает лишь только тогда, когда внешняя сила ускоряет частицу, а без внешней силы "трения" нет. Электрон, излучивший волну, ее не чувствует после излучения. Она есть, она куда-то летит, а он ее не чувствует. Электрон и электромагнитное поле - разные, независимые системы. Таковы скороспелые, ошибочные выводы из уравнений (1)-(2), сделанные физиками после открытия уравнений Максвелла. Потому то вполне законное желание дописать член соответствующего "трения" при помощи Лагранжиана "взаимодействия" и элементарной математики приводит к неожиданному изменению самих "независимых" систем.

Вообще экспериментально наблюдают в первую очередь некоторую среднюю динамику центра масс, ведь соответствующее феноменологическое уравнение (1) пишется для одной точки, а тело то макроскопическое, не одноточечное. И как мы про это забыли, и кто нас дернул объявлять частицу точечной? Небесные мы механики! Усредненную, инклюзивную картину приняли за микроскопическую!

Почему перенормировки могут иногда работать и почему от этого только хуже

То, что мы выдвинули неправильные уравнения (4) - это закономерно. Ведь мы взяли в голову не то, действовали, значит, не наверняка. Но почему тогда уравнения (5) (т.е., (4) с измененными константами) "работают"? Если объяснять совсем общо, то потому, что ошибочное "взаимодействие" (3) в данном случае оставило уравнения дифференциальными, второго порядка, хоть и изменило кинетические члены и связало уравнения. Так вот, возврат кинетических членов к их прежним значениям исправляет эффект нашего неуклюжего "улучшения" физики уравнений (1) и (2), но оставляет связь новых уравнений, которая в данном конкретном случае на удачу оказывается правильной. Точные уравнения оказались очень простыми и их удалось угадать. Это везение. Это как раз то везение, в которое отказывается верить 't Хофт, считая перенормировки строгой наукой. Но вопреки 't Хофту, чаще невезет, если действовать по таким вот "рецептам включения взаимодействия".

Есть и более техническое обьяснение. Задачу о двух связанных частицах, на одну из которых действует внешняя сила, можно записать в каких угодно переменных - в собственных координатах частиц $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2$, в координатах центра масс и относительных координатах $\mathbf{R}_{CM}, \mathbf{r}_r$, а также в смешанных координатах $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_r = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2$. Последний случай особенно поучителен. Фактически мы с ним и имеем дело.

 Пример одномодовой сложной механической системы 

Уравнения в смешанных переменных можно записать так:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 = \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_1|t) - m_2 ( \ddot{\mathbf{r}}_1 - \ddot{\mathbf{r}}_r ) \\ m_2 \ddot{\mathbf{r}}_r+k \mathbf{r}_r= m_2 \ddot{\mathbf{r}}_1 \end{array}\right}\quad (9)$

или

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}(m_1+m_2) \ddot{\mathbf{r}}_1 = \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_1|t) + m_2 \ddot{\mathbf{r}}_r \\ \mu \ddot{\mathbf{r}}_r+k \mathbf{r}_r = \frac{m_2}{M_{tot}} \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_1|t) \end{array}\right}\quad (10)$,

а соответствующий Лагранжиан равен:

$L = \frac{m_1 \mathbf{v}_1^2}{2}-V_{ext}(\mathbf{r}_1|t)+\frac{m_2 \mathbf{v}_r^2}{2} - U(\mathbf{r}_r) - m_2\left ( \mathbf{v}_1\mathbf{v}_r - \frac{\mathbf{v}_1^2}{2}\right )\quad (11)$

Видите, последний, билинейно-квадратичный член в (11) очень похож на Лагранжиан (3) нашего гениального "взаимодействия" (самодействия). Обратите внимание, в смешанных переменных уравнение для первой частицы в (10) содержит полную массу системы, а не массу первой частицы. Это потому, что внешняя сила, хоть и тянет за первую частицу, волочит всю систему целиком. Различие между уравнением для абсолютной координаты $\mathbf{r}_1$ и уравнением для координаты центра масс в том, что уравнение центра масс не содержит осциллирующей силы $\ddot{\mathbf{r}}_r$ в правой части, но масса в обоих уравнениях одинаковая и полная: $M_{tot}$.

Точная система уравнений в смешанных переменных (9) так же хороша, как и в любых других переменных, но так же неудобна для отыскания решений, как и система в собственных (абсолютных) координатах $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2$. Переменные там не разделены и ее надо как-то преобразовывать. Но! Ее можно порешать и по теории возмущений, выбрав в качестве начального приближения уравнения:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1^{(0)} = \mathbf{F}_{ext}(\mathbf{r}_1^{(0)}|t) \\ m_2 \ddot{\mathbf{r}}_r^{(0)}+k \mathbf{r}_r^{(0)}= 0\end{array}\right}\quad (12)$

Они расцеплены (независимы друг от друга) и легко решаются. Они получаются, если пренебречь "Лагранжианом взаимодействия" (последним членом) в (11). При этом, кинетические члены содержат массы частиц, а не массы квазичастиц. Далее, поскольку в нулевом приближении уравнения содержат только массы частиц, а не полную и приведенную массы, и возмущением поэтому служат кинетические члены, то изрядная доля поправок будет фактически "достраивать" в решениях $m_1$ до $M_{tot}$ и $m_2$ до $\mu$. Ну и оставшаяся часть возмущения будет выдавать на гора эффекты связывания уравнений. В нашем простом случае это достройка "легенького" и гладенького решения $\mathbf{r}_1^{(0)}$ до "тяжеленького" и осциллирующего (флуктуирующего) $\mathbf{r}_1 = \mathbf{R}+\frac{m_2}{M_{tot}}\mathbf{r}_r$. Осциллятор начинает колебаться в высших приближениях ТВ и координата первой частицы приобретает осциллирующие пертурбативные поправки, сводящиеся к разложению в ряд осциллирующего члена $\frac{m_2}{M_{tot}}\mathbf{r}_r$. Параметром разложения служит отношение $\varepsilon\prime = \frac{m_2}{m_1}$.

Итак, все правильно - если начнем решать точную систему (9) по ТВ не с тех масс, не с тех частот, не с тех констант связи и с гладкого решения, то и поправки ТВ получим, исправляющие указанные недочеты начального приближения. Точное решение, разумеется, будет правильным. Это случай теории возмущений в классической механике, когда часть поправок ТВ можно отнести к массам нулевого приближения. Это, конечно, не перенормировка масс - массы $m_1$ и $m_2$ не меняют своих значений. Это поправки к приближенным решениям, если говорить строго и честно. Они - эти поправки - законны и, разумеется, нужны. То есть, никакого нашего вмешательства в  результаты расчета не требуется, расчет как расчет.


Негодные уравнения (4a) чисто случайно совпадают по форме с правильными уравнениями для пары частиц в смешанных переменных (9) поэтому и решения уравнений (4a) совпадают по форме с решениями уравнений в смешанных переменных. Но в (4a) массы в нулевом приближении уже правильные ($M_p = M_{tot}, M_{osc}=\mu$) - такими они "унаследованы" нами из феноменологических уравнений (1)-(2) при нашем способе "включения" взаимодействия (3). Поэтому никакие поправки им уже не нужны (они будут только все портить), а осциллирующая часть в $\mathbf{r}_p$ нужна, равно как и внешняя сила в правой части осциллятора. Перенормировки масс в решениях системы (4a) на практике как раз и делают эту работу - привнесенные нами (т.е. взаимодействием (3)) ненужные поправки к правильным константам в решениях отбрасываются, а остальные поправки в решения оставляются, что  дает внешнюю силу в качестве накачки осциллятора и правильную осциллирующую часть в $\mathbf{r}_p$.

Ничего математически и физически разумного в перенормировочном предписании, конечно, не содержится, а "успех" перенормировок случаен, так же как и закономерен неуспех в более сложных случаях при таком вот способе "введения взаимодействия". Все калибровочные (и не только) теории страдают из-за наших концептуальных ошибок (что есть что и как включать взаимодействие), но далеко не все "перенормируются". Чувствуете, какие открываются перспективы, если начать переосмысливать физические явления и переделывать теоретические схемы? Теоретическая физика станет более феноменологической, открытой для интеграции новых, еще не обнаруженных элементарных возбуждений в спектрах сложных систем. А "принцип локальной калибровочной инвариантности", задуманный для получения уравнений в надежде, что, хоть такие уравнения и плохи, но перенормировки, авось, вывезут, будет примером, того как не надо поступать. Ну и Хиггса, конечно, нет.


Из Лагранжиана (11) следует закон сохранения энергии в смешанных переменных:

$E = \frac{m_1 \mathbf{v}_1^2}{2}+V_{ext}(\mathbf{r}_1) +\frac{m_2 \mathbf{v}_r^2}{2} + U(\mathbf{r}_r) - m_2\left ( \mathbf{v}_1\mathbf{v}_r - \frac{\mathbf{v}_1^2}{2}\right ) = const \quad (13)$

Полную сохраняющуюся энергию можно представить также в виде:

$E = \left [ \frac{M_{tot}\mathbf{V}_{CM}^2}{2}+V_{ext}(\mathbf{r}_1) \right ] + \left [\frac{\mu \mathbf{v}_r^2}{2} + U(\mathbf{r}_r)\right ]  = const \quad (14)$

Из (14) следует, что работа внешней силы по перемещению первой частицы из точки $\mathbf{r}_1(t_1)$ в точку $\mathbf{r}_1(t_2)$, равная разности потенциалов $-\Delta V_{ext}$, расходуется на увеличение кинетической энергии центра масс и на увеличение "внутренней" энергии всей системы:

$-\Delta V_{ext}=\Delta \frac{M_{tot}\mathbf{V}_{CM} ^2}{2}+\Delta E_r   \quad (15)$

Разумеется, слово "увеличение" нужно здесь понимать в алгебраическом (т.e., "изменение"), а не в буквальном смысле.

В смешанных же переменных имеются еще билинейные (перекрестные) и квадратичные члены:

$E = \left [\frac{m_1 \mathbf{v}_1^2}{2}+V_{ext}(\mathbf{r}_1)\right ] + \left [\frac{\mu \mathbf{v}_r^2}{2} + U(\mathbf{r}_r)\right ] + \left [ \frac{(m_2-\mu) \mathbf{v}_r^2}{2} - m_2 \mathbf{v}_1\mathbf{v}_r + \frac{\mathbf{v}_1^2}{2} \right ]  = const  \quad (16)$

То есть, не бывает такого, что когда $E_1$ на сколько-то убывает, то $E_r$ (или $E_{osc}$) на столько же прибывает. Это так потому, что "аддитивным партнером" внутренней энергии системы $E_r$ является энергия центра масс (см. (15)), а не энергия первой частицы. Отсюда и добавочныe члены. Наличие таких билинейных (перекрестных) и  квадратичных членов говорит о принадлежности первой частицы осциллятору. В электродинамике, однако, этого еще не понимают, а считают электрон существующим отдельно от осцилляторов поля. Отсюда ошибочное "взаимодействие" а ля (3) и перенормировки. Такова ситуация "с перенормировками" в квантовой теории поля  - физику там еще не поняли, а неудачи выдали за достижения. Ведь главное - это численное согласие "с экспериментом", а если для него в теории "нужны" и затравочные частицы, то да, и они есть, просто на эксперименте они не наблюдаются. :-)

Лагранжиан системы (7) или (9) выглядит так:

$L = \left [ \frac{M_{tot}\dot{\mathbf{R}}_{CM}^2}{2}-V_{ext} \left (\mathbf{R}_{CM} + \frac{m_2}{M_{tot}}\mathbf{r}_r \right ) \right ] + \left [\frac{\mu \dot{\mathbf{r}}_r^2}{2} - U(\mathbf{r}_r) \right ]   \quad (17)$

Зацепление уравнений посдсистем $\mathbf{R}_{CM}$ и $\mathbf{r}_r$ происходит за счет аргумента потенциала внешней силы (воздействие на $r_1$, на одну из частиц), а не "благодаря" кинетическим членам. Для теорий поля это хорошая новость, так как взаимодействие вида "произведение полей" типа $j\cdot A$, $\phi^4$ и т.д. оказываются не обязательными и не единственными способами построить "взаимодействующую теорию". Нет произведения, нет и расходимостей, если считать, что расходимости возникают из-за произведения сингулярных распределений.


Самодействие

В электродинамике заряд создает "два" поля - ближнее и излучаемое. Ближнее состоит из Кулона и магнитного поля, если заряд движется (ну, как вокруг проводника с током), и оно все время "таскается" вместе с зарядом. Излучаемое поле "улетает", но тоже определяется движением заряда, а именно, его ускорением. Эти все поля образуют суперпозицию и являются внешними по отношению к другим зарядам. Они стоят в качестве внешних сил в их уравнениях движения. Такова изначальная суть уравнений Максвелла.

Для "учета обратного действия излученного поля" на ускоренный заряд, Лоренц и другие решили вставить все "собственное" поле в уравнение движения самой частицы, которая их создала для других частиц. (Умно, но больно не понятно). Следуя этой логике, мы и рассматриваем полное самодействие (3), как положено. Таким образом, "полное самодействие" включает в себя Кулоновскую потенциальную часть, дающую расходящейся вклад в массу самой частицы ($\propto \eta$) и вклад "взаимодействия с собственным полем излучения", дающим  вклад в массу осциллятора ($\propto \alpha^2$), от которых мы потом избавляемся путем перенормировок масс.

Знающий читатель может усомниться в уместности моих примерчиков для КТП, ведь во взаимодействии в КТП нет произведения скоростей, а есть "произведение полей", например, $j\cdot A$. При этом $A$ считается обобщенной координатой осциллятора, а не скоростью. Да, действительно, букву $A$ так всегда называют, но ее вполне можно считать и скоростью. Хотя плотность тока $j$ есть тоже "произведение полей", я надеюсь со мной никто спорить не будет, что она пропорциональна скорости частицы, и чтобы получить плотность энергии в Лагранжиане, размерность $A$ надо считать скоростью. В Гамильтоновой формулировке "включение взаимодействия" происходит путем "удлиннения" импульса: $p\rightarrow p-A$, что тоже недвусмысленно указывает на кинетический характер "потенциала" $A$. Наконец, в  свободном осцилляторе все равно, что назвать обобщенным импульсом, а что обобщенной координатой - уравнения и решения практически одинаковые, так что векторный потенциал $А_{osc}$ есть "скоростной", а не "координатный" член. Поэтому мои примерчики со скоростями в перекрестном члене весьма уместны.

Поляризация вакуума

Поляризация вакуума это ужасно хитроумное физическое явление, происходящее с затравочными частицами и модифицирующее константу связи. Она у нас тоже есть, а как же! Возьмите негодные уравнения (4а) и решайте по теории возмущений. Вы получите поправки к затравочной константе взаимодействия. :-) Для солидности можно даже диаграммную технику придумать для членов такого ряда ТВ. :-)

Инфракрасные расходимости

Они неизбежны потому, что они есть, правда. Решение уравнения (истинного) осциллятора после окончания действия внешней силы обратно пропорционально частоте. Слабосвязанная система получает очень большую амплитуду колебаний, это физично. "Погасить" такую амплитуду могут другие осцилляторы, реально возбуждаемые в реальных системах (и которых мы не рассматривали ради простоты) и/или усреднение по времени. Тогда среднее значение координаты частицы очень близко к координате центра инерции системы, что, как правило, и наблюдают экспериментаторы. В квантовой электродинамике этому соответствует инклюзивная картина.

Можно получить "инфракрасную расходимость" при любой  (а не только при "малой") частоте осциллятора - путем увеличения величины внешней силы $\mathbf{F}_{ext}$. То, что частица будет получать больший импульс от большей силы, не вызывает удивления. Удивление вызывает ее истинная траектория движения с огромными отклонениями от средней, всем привычной траектории.


В случае неоднородной в пространстве силы, наши перенормированные точные уравнения (7) не совпадают с исходными (1)-(2), ведь точка приложения силы не совпадает с центром инерции. Но это ничего, и численные, и аналитические решения уравнений физичны, переделывать уже ничего не надо. Может оказаться, что внешнюю силу в (7) можно разложить в ряд "вокруг $\mathbf{R}$" по градиенту, если неоднородность слабая. Может также оказаться, что внешняя сила действует и на первую, и на вторую частицы, но по разному их ускоряет. Тогда тоже появляется механизм накачки энергии относительного движения (внутренней энергии).

Наконец, что можно сказать о нашей системе после того, как колебания осциллятора затухнут, когда вся энергия колебаний уйдет в воздух? Соответствует ли такое состояние "адиабатически выключенному" взаимодействию? Нет, так как наш механический осциллятор никуда не делся, а просто передал энергию по эстафете. Наша система осталась сложной и готовой к бою, а не распалась на куски. Взаимодействие с воздухом мы явным образом не описывали, но подразумевали, кода говорили о наблюдаемых частоте и амплитуде колебаний, причем это взаимодействие считалось очень слабым, не влияющим на наблюдаемый спектр (слабое уширение спектральной линии). Вообще, наблюдаемостъ часто вот так подразумевается, а не пишется в качестве некоей "силы" в уравнениях, но сами понятия частоты и амплитуды означают передачу энергии от осцилляторов датчикам.

В классической механике колебания осцилляторов могут затухнуть полностью, но в квантовой механике остаются нулевые колебания. Когда осцилляторов много, их эффект выражается в дополнительной размазке заряда электрона во внешнем поле, ведущей к несколько иным значениям энергетических уровней, что известно как Лэмбовский сдвиг.

Комментариев нет:

Отправить комментарий