Fishers in the snow: Моя первая победа над расходимостями

_____________________________________________________________________________Visit and join this Advanced Physics Forum:

четверг, 3 марта 2011 г.

Моя первая победа над расходимостями

Было это в начале моей карьеры, в Сухумском Физико-Техническом Институте, в 1981-83 годах. Ребята-расчетчики из нашей лаборатории решали уравнение теплопроводности, стараясь получить аналитические оценки в сложных случаях. Собственно, численно уравнение теплопроводности решается без проблем, но речь шла об аналитических оценках скорости и длительности переходного периода (так называемый регулярный режим), когда теплопроводящая система многослойная, например. Наименьшее собственное значение, определяющее регулярный режим, можно численно найти из трансцендентного уравнения, но в то время маленьких калькуляторов и "больших ЭВМ" с перфокартами это было хлопотно. Хотелось иметь аналитическую формулу, показывающую, как будет изменяться наименьшее собственное значение при изменении теплофизических параметров в том или ином слое. Аналитические выражения были в почете и к тому же были практичными.


Лабораторию возглавлял доктор физико-математических наук Максимов Михаил Захарович, знаток спец-функций и многих других вещей. Он с ребятами нашел в Морсе-Фешбахе способ преобразовать задачу Штурма-Лиувилля к виду, удобному для применения теории возмущений  (ТВ):  некоей заменой переменных $x \rightarrow z, \psi(x) \rightarrow \phi(z)$ исходное уравнение можно превратить в уравнение типа "Шредингера" с неким потенциалом $V(z)$. Меня к этой работе не привлекали, но делились своими муками и результатами. Оказалось, что если теплофизические свойства проводника изменяются плавно, то решение по Морсу-Фешбаху получается хорошим - оно очень похоже на решение ВКБ. Проблема заключалась в том, что для резко-меняющихся свойств "потенциал" $V(z)$ делался очень большим, типа квадрата дельта-функции, и матричные элементы недвусмысленно расходились. После долгих и продолжительных мучений было решено, что ВКБ в данном случае не применим, и была предложена формула  для  замены многослойной системы некоторой однослойной с "эффективными" свойствами и оттуда  - наименьшее собственное значение. Ну, для однослойной все проще, хотя, конечно, точность получалась "ограниченная". Они послали статью в Журнал Технической Физики, а я решил попробовать применить перенормировки. Сразу же скажу, что в конце концов я придумал какое-то жалкое подобие перенормировок, но мне повезло больше - я сумел устранить расходимости матричных элементов с самого начала, т.е., сразу получить сходящиеся ряды, что гораздо важнее.

Анализ "возмущения" $V(z)$ показал, что оно описывает пространственную скорость изменения свойств теплопроводника, скажем, теплопроводности $\kappa (x)$: после замены переменных потенциал $V(z)$ содержал пространственную производную $\kappa (x)$ в квадрате. Разумеется, производная от ступеньки - дельта-функция, а ее квадрат не интегрируется. Короче, формальный малый параметр - скорость изменения свойств, делался для многослойных систем реально большим: он стремился к бесконечности. Поэтому ряд Тейлора по нему расходился просто из-за фактической "немалости" параметра разложения. Ладно, с этим я разобрался.

Но в многослойной системе есть другой малый параметр - относительная разница свойств в слоях. Кроме того, точное решение уравнения Штурма-Лиувилля существует и оно конечно. Поэтому я захотел подобрать другой вариант теории возмущений, где малым параметром была бы относительная разность коэффициентов в слоях, а не скорость их изменения. После еще одного анализа, я понял, откуда происходит наихудший член в возмущении: он происходил от множителя  при волновой функции при замене переменных. Для кусочно-гладких коэффициентов задачи он делался разрывным, в то время, как точная волновая функция непрерывна. Я почесал голову и сделал иную замену переменных - без этого множителя. И, о радость, возмущение $V(z)$ превратилось в дифференциальный оператор $\hat{V}(z)$, линейный по дельта-функции, так что матричные элементы (интегралы) брались без проблем и были малы, если свойства в слоях отличались не сильно. Малым параметром оказался логарифм отношения коэффициентов в соседних слоях, например $\ln\sqrt{\kappa_1/\kappa_2}$, если говорить о двухслойной системе. (Оператор возмущения оказался неэрмитовым из-за своей дифференциальности, но это не запрещается и вообще ни на что не влияет).

Численное сравнение с точными решениями оказалось весьма благоприятным для моего варианта ТВ, и позже я понавыводил кучу дополнительных результатов в этой проблеме, включая очень точные формулы для наименьшего собственного значения. Главный же вывод, который я извлек из этого случая, был следующий: качество начального приближения определяет, какими будут поправки. Если начальное приближение "далеко" от точного решения, то поправки будут "большими", что бы скорректировать неудачный старт в ряду теории возмущений. И наоборот, если начальное приближение хорошо отражает свойства точного, то и поправки к нему будут маленькими. Банальность, но какие открываются перспективы! Я загорелся переделать Квантовую Электродинамику (благо я ее знал и сдал С. В. Пелетминскому досрочно). Нужно было только понять, что плохого содержится или чего хорошего не содержится в начальном приближении в КЭД, раз поправки к нему получаются большими. Тогда можно будет его исправить и получить окончательные результаты КЭД сразу, не прибегая к перенормировкам, ну прямо как в задаче Штурма-Лиувилля.

О своих результатах на этом пути я напишу в других заметках, а здесь расскажу об одной "ошибке", которую я отказываюсь считать только своей ошибкой, так как ее делают все. И заметить ее смог один я, и было это не просто.


Не все коту масленица 

 В "двухслойной" задаче Штурма-Лиувилля можно подобрать такие комбинации толщин слоев, что трансцендентное уравнение для собственных значений можно решить аналитически. А решив, его можно легко разложить в ряд по моему малому параметру и сравнить с рядом ТВ, члены которого в этом случае тоже легко сосчитать. И вот, оказалось, что поправка третьего порядка, полученная этими разными путями, отличается знаком. Пустяки, подумал я, наверное, где-то ошибся знаком (нечетное количество раз ;-)),  так что все почти сходилось. Однако тщательная и многократная проверка разложений подтвердила - знаки при $(\ln\sqrt{\kappa_1/\kappa_2})^3$ получаются разные, и ищи, брат, причину.

Хорошенькое дело - ищи, если оба вывода правильные. Не к чему придраться. Не знаешь, за что взяться. Тупик!

Конечно, в аналитическом разложении я был уверен больше, но и теория возмущений на численных примерах работала хорошо, да и все поправки первого и второго порядка получались правильными. Ну и загадка! Ну не за что зацепиться!

Но мне опять повезло и я в конце концов нашел: это теория возмущений врала, так как я ее применял "вульгарно" - вычислял матричные элементы, как все, вставлял в спектральные суммы, как все, и почленно складывал, как все. В случае сравнения с двухслойной системой для определенных толщин слоев спектральные суммы можно вычислить аналитически. Они даны в справочниках. Все я делал правильно, и разгадка загадки состояла в том, что формулами теории возмущений из книжек было пользоваться нельзя! В "двухслойной" задаче Штурма-Лиувилля точная собственная функция имеет излом на стыке слоев. Оператор возмущения $\hat {V}$ - дифференциальный и производные справа и слева от $z_1$ разные. Нужно сначала вычислить интеграл $\int \phi_k^{(0)}\hat {V}\phi_n dz$ с точной собственной функцией $\phi_n$, и только затем результат интегрирования представить в виде спектральной суммы собственных функций нулевого приближения  $\phi_m^{(0)}$ (ни одна из которых излома не имеет). Тогда результат будет содержать другую комбинацию коэффициентов в виде малого параметра: $\xi_{1,2} = 2 \frac{ \sqrt{\kappa_1} - \sqrt{\kappa_2} }{ \sqrt{\kappa_1} + \sqrt{\kappa_2} }$, а не логарифм отношения. Правильный малый параметр $\xi_{1,2}$ отличается от логарифма, начиная как раз с третьего порядка, причем с маленьким численным коэффициентом: $\xi_{1,2} = \ln \sqrt {\kappa_1/\kappa_2} - \frac {1}{12}(\ln \sqrt {\kappa_1/\kappa_2})^3 + ...$ или $\ln \sqrt {\kappa_1/\kappa_2} = \xi_{1,2} +  \frac {1}{12}(\xi_{1,2})^3 + ...$, поэтому данное отличие было невозможно заметить на численных примерах. Теперь ряд ТВ давал правильное аналитическое разложение. Уфф, и этот вопрос прояснился!

Так я впервые  продрался сквозь тернии бесконечностей. Много позднее я опубликовал на русском один препринт и две журнальные статьи (ТВT1, TVT2, и ЖВММФ1, ЖВММФ2), а недавно разместил английский вариант в архиве. Теперь это уже достояние человечества.

Кстати, только благодаря тому, что у меня была возможность сравнивать мой ряд ТВ с аналитическим разложением точного решения, я и заметил свою промашку. Я хочу сказать, что такая ошибка особенно опасна, если параметр разложения мал и ряды теории возмущений "апробируются" лишь на экспериментальных данных, как в КЭД. Еще хуже, если параметр разложения "подгоняется" под эксперимент в неверном ряду. Поэтому я выступаю против сомнительных способов получения рядов ТВ в физике и математике.

Комментариев нет:

Отправить комментарий