Fishers in the snow: Анатомия перенормировок на примере классической механики двух частиц

_____________________________________________________________________________Visit and join this Advanced Physics Forum:

воскресенье, 27 марта 2011 г.

Анатомия перенормировок на примере классической механики двух частиц

Всякий грамотный человек, прочитав заголовок этой заметки, должен раздраженно топнуть ногой и грязно выругаться, мол, "Совсем спятил этот Владимир! Не бывает перенормировок массы и заряда в классической механике двух частиц, а значит все, что он там пишет - должно быть чушь собачья! Не буду терять времени, не буду это читать!" Не будешь, и не надо, но позволь мне, дорогой читатель, тебя поправить - я не спятил, я таким родился. А теперь  можешь и не читать.



Да, так вот, классическая механика двух частиц. Кто ее не знает? Все знают, и это хорошо! У меня есть тогда надежда быть понятым. Или схваченным за руку. Тем более, что решаемая задача до нельзя простая.

Задача эта не отфонарная, а проистекает из Квантовой Электродинамики (КЭД), где количество частиц, особенно фотонов, бесконечно. Просто я смог упростить рассмотрение до пары взаимодействующих частиц без потери общности. В КЭД число осцилляторов бесконечно велико, но они все возбуждаются независимо друг от друга, и мне достаточно показать, как возбуждается один осциллятор. Остальные возбуждаются точно так же.

Однако, нет никакой доблести рассказывать про возбуждение одного осциллятора - это давно и хорошо известно и описано во многих учебниках. Берешь осциллятор с некоей собственной частотой $\omega_0$ и прилагаешь к нему внешнюю вынуждающую силу $F_{ext}(t)$. Задача решается в квадратурах и количество переданной за все время осциллятору энергии определяется Фурье-компонентой внешней силы. Ну и здорово! Но какая связь этого с Квантовой Электродинамикой? Связь же с КЭД такова - электрон тоже возбуждает осциллятор(ы), а значит, чтобы возбуждать фотонный осциллятор, он должен быть частью этого осциллятора, а не независимой там элементарной частицей. Такое понимание электрона все еще отсутствует в КЭД. Нет, конечно, согласно точным уравнениям КЭД электрон все же "связан" с осцилляторами, но все равно как-то думается, что он в то же время и свободный. Во всяком случае, такими считаются нулевые или начальные приближения  для электрона и осцилляторов в квантовоэлектродинамических расчетах - все свободны. При "включении" же взаимодействия  с собственными осцилляторами поля (а не с внешним полем) и получаются неприятности. Поэтому считать электрон свободным, хотя бы временно, просто так не получается - это противоречит самим уравнениям и приводит к концептуальным и математическим "трудностям" в процессе решения. И даже адиабатическая гипотеза не спасает. Поэтому данная задача  - с постоянно связанными частицами, - все еще актуальна, во всяком случае для КЭД. Я покажу, что потенциальные силы осцилляторов есть лучшая замена вредной фигне с тремя точками.

Противоречия и нелепицы в КЭД решаются не в лучших традициях математики, а с помощью грубой силы - путем перенормировок констант (= путем переделки решений). Решением называется не все то, что получается в результате решения, а лишь та часть, что должна быть, по нашему мнению, решением (а остальное говно - под ковер, там ему самое место). Умно, но больно непонятно. Непонятно, например, кто нам таким умным мешает сразу получать правильные решения из правильной теории? Вот поэтому и интересно проследить анатомию перенормировок на примере птичек и бабочек, имеющих прямое отношение к КЭД. Тогда становится ясно, что стоит за "успехом" перенормировок и как их избежать вообще, если кому-то хочется. Ведь некоторым все еще хочется.

Итак, берем пару частиц с известными $m_1$ и $m_2$ и соединяем их пружинкой с коэффициентом жесткости $k$. Соответствующую упругую силу обозначим просто $\vec{F}_{1,2}$. Чтобы раскачать колебания, нужно действовать внешними силами на одну частицу не так, как на другую (нужны разные ускорения). Для простоты будем здесь считать, что внешняя сила $\vec{F}_{ext}$ одна, действует только на первую частицу и является однородной в пространстве. Общий случай качественно такой же.

Уравнения движения для каждой частицы завязываются за уравнения (переменные) другой частицы:

$m_1 \ddot {\vec{r}}_1 =  \vec{F}_{1,2} + \vec{F}_{ext}(t)$       (1)

$m_2 \ddot {\vec{r}}_2 =  \vec{F}_{2,1} $                      (2)

Из первого уравнения видно, что первая частица не совсем вольна следовать внешней силе - ее обременяет вторая частица, если они крепко связаны. И если в начальный момент времени все покоилось, а затем первая частица получила толчок, то потом вся система как целое двинется в направлении толчка и еще будет при этом "внутренне" колебаться. Эти движения легче описывать в других переменных.

Вместо "персональных" координат $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$ вводим координаты центра инерции (ЦИ) и относительное расстояние:

$\vec R = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2},  \vec{r} = \vec{r}_1-\vec{r}_2$          (3)

$ \vec{r}_1 = \vec{R}+ \frac{m_2}{M_{tot}}\vec{r}$                             (4)

$ \vec{R} =\vec{r}_1 - \frac{m_2}{M_{tot}}\vec{r}$                             (5)

В этих переменных уравнения расцепляются:

$M_{tot} \ddot {\vec{R}} =  \vec{F}_{ext}(t)$                            (6)

$\mu \ddot {\vec{r}} =  \vec{F}_{1,2}+\frac{m_2}{M_{tot}} \vec{F}_{ext}(t)$               (7)

Внешняя сила совершает работу по ускорению ЦИ всей системы и по накачке относительных  колебаний. Обе работы всегда аддитивны в том смысле, что их сумма и есть полная работа внешней силы над системой. Данное утверждение справедливо для какой-угодно сложной системы. Кроме того, уравнения (6)-(7) и есть, на самом деле то, что открывается экспериментально в первую очередь - уравнения механики центра инерции и уравнения колебаний сложных систем.

Все это известно, элементарно, и в то же самое время полезно для построения будущей КЭД. Действительно, уравнение (6) похоже на (механическое) уравнение Лоренца до включения в него силы самодействия электрона, а уравнение (7) похоже на (волновое) уравнения накачки электромагнитных осцилляторов за счет ускорения электрона. Главная разница, состоит в том, что в наши уравнения ничего уже не надо добавлять ради спасения законов сохранения - все уже улажено. Первое уравнение не есть уравнение для первой частицы, так что у нас нет нужды добавлять ко внешней силе еще "силу лучистого трения". Второе уравнение не есть уравнение для потерь энергии первой частицей на "излучение". Потери несет (а точнее, совершает работу) внешняя сила, как и должно быть. Первая же частица не несет потери, а просто не добирает энергии от внешней силы из-за взаимодействия со второй. Так что (6) и (7) есть образцовое, безпроблемное описание взаимодействия без самодействия, достойное подражания.

Посмотрим на гамильтониан нашей системы:

$H = \frac{\vec{P}^2}{2M_{tot}} + \frac{\vec{p}^2}{2\mu}+U(\vec{r})+V_{ext}(\vec{R}+\frac{m_2}{M_{tot}}\vec{r},t)$        (8)

Здесь аргумент внешнего потенциала $\vec{r}_1 = \vec{R}+\frac{m_2}{M_{tot}}\vec{r}$ - координата первой частицы, на которую и действует внешняя сила. За счет внешней силы и происходит "связывание" переменных и уравнений подсистем. В отсутствие внешней силы ($V_{ext}=0$) нет никакой надобности пренебрегать взаимодействием наших частиц. Гамильтонианы ЦИ и относительного движения друг от друга не зависят, так что не нужно никаких дополнительных упрощений типа адиабатической гипотезы для получения нулевых приближений  - они уже описывают одну сложную, взаимодействующую систему, а не две независимые. Это точный учет взаимодействия  (coupling non perturbatively) и это Гамильтонианы независимых квазичастиц (подсистем) одной системы, а не истинных свободных частиц в пустом пространстве.

В электродинамике же мы исторически считаем заряд и излучаемое им поле отдельными системами в пустом пространстве и в этом и есть наша концептуальная ошибка. Мы все еще не понимаем уравнений электродинамики, как уравнений квазичастиц (6)-(7), а мыслим их уравнениями "частиц". Из-за этого Лоренц, Абрагам, Дирак и даже сам Ландау-Лифшиц стали добавлять ненужное "трение" в механическое уравнение (6) и получили сплошную лажу, приведшую к "необходимости" перенормировок, отказу от исходных принципов и умственному тупику. Собственное поле даже в механике не совсем такое, как внешнее - оно должно учитываться немного иначе, чем внешнее. И хотя в (1) они входят, казалось бы, "равноправно", в реальности собственное поле нельзя отключить. То есть в реальности связь с ним должна всегда входить в нулевое приближение, что наиболее естественно обеспечивается  коллективными переменными  (3). Тем более, что на эксперименте мы, как правило, с ними и имеем дело.

Для лучшего понимания анатомии перенормировок, давайте рассмотрим нашу исходную задачу в так называемых смешанных переменных (термин мой) $\vec{r}_1$ и $\vec{r}$. Это "персональная координата" первой частицы и координата относительного движения. Уравнения в этих переменных принимают вид:

$m_1 \ddot {\vec{r}}_1 =  \vec{F}_{ext}(t) + m_2( \ddot {\vec{r}} - \ddot {\vec{r}}_1 )$               (9a)

$m_2 \ddot {\vec{r}} =  \vec{F}_{1,2} + m_2 \ddot {\vec{r}}_1 $                              (10a)

Они не легче, чем зацепляющиеся уравнения (1), (2). А теперь порешаем их по теории возмущений, рассматривая в качестве возмущения кинетический член $ m_2( \ddot {\vec{r}} - \ddot {\vec{r}}_1 )$ в первом из этой пары уравнении. Если разделить (9a) на $m_1$, то можно сказать, что "малым безразмерным параметром" разложения является отношение $\frac{m_2}{m_1}$, которое мы обозначим $\epsilon '$. Штрих здесь для того, чтобы отличать  этот параметр от другого безразмерного параметра $\epsilon = \frac{m_2}{M_{tot}}$, появившегося незаметно в (4) и (7). Эти эпсилоны определяют эффективность накачки колебаний внешней силой и похожи на заряд в электродинамике (константа "связи").

Ну и вот, нулевое приближение для (9а) есть просто уравнение первой частицы во внешнем поле, а уравнение (10а) в этом приближении, т.е., когда вынуждающий член $\ddot {\vec{r}}_1^{(0)}$ есть просто известная функция времени (ускорение первой частицы, прямо выражаемое через внешнюю силу), очень похоже на уравнение Максвелла для амплитуды какой-нибудь гармоники поля, накачиваемой за счет ускорения первой частицы (заряда):

$m_1 \ddot {\vec{r}}_1^{(0)} =   \vec{F}_{ext}(t) $                             (9б)

$m_2 \ddot {\vec{r}}^{(0)} =  \vec{F}_{1,2} +\epsilon ' \vec{F}_{ext}(t) $                (10б)

Поскольку мы исходим из правильных точных уравнений (9a) и (10a), полностью эквивалентных (1)-(2) и (6)-(7) с (4), то наше пертурбативное решение будет тоже правильным, хотя и несколько необычным. Необычность нашего пертурбативного решения состоит в том, что в нулевых приближениях стоят "неточные" массы ($m_1$ и $m_2$ вместо $M_{tot}$ и $\mu$) и поэтому почти все пертурбативные поправки можно представить, как поправки к "исходным" массам $m_1$, $m_2$ и константе связи $\epsilon '$ в решениях нулевого приближения! Это позволяет "свернуть" длинные пертурбативные формулы в довольно компактные выражения. Обычно в механике возмущением служит потенциальная энергия, модифицирующая решение нулевого приближения, но не сводящаяся к примитивным сдвижкам констант в нем. А тут возмущающий член - кинетический, поэтому его вклад в модификацию решений в значительной степени сводится к модификации исходных масс в решениях нулевого приближения. А что не сводится к исправлению неточных масс, то идет на модификацию решений и превращается в формулу типа (4).

Чтобы не разводить долгую бодягу с доказательствами, посмотрим на точные уравнения в разделенных переменных (6), (7) и запишем их точные решения символически, как функции параметров $M_{tot}, \mu$ и $\epsilon$:

$\vec{R} = \vec{R}(M_{tot})$           (11)

$\vec{r} = \vec{r}( \mu, \epsilon)$             (12)

Уравнения нулевого приближения для системы (9a), (10a) совпадают по форме с точными уравнениями (6), (7), но выражаются через "неправильные" (или "неточные") константы: $m_1, m_2$ и $\epsilon '$. Поэтому их решения есть те же самые точные формулы решений (формулы (11) и (12)), но с "неточными" константами:

$\vec{r}_1^{(0)} = \vec{R}(m_1)$             (13)

$\vec{r}^{(0)} = \vec{r}(m_2, \epsilon ')$           (14)

Переписав точные константы через "приближенные" и малый параметр $\epsilon '$:

$M_{tot} =  m_1 (1+\epsilon ')$              (15)

$\mu  =  \frac {m_2}{1+\epsilon '}$                           (16)

$\epsilon  =  \frac {\epsilon '}{1+\epsilon '}$                           (17)

видим, что действительно, ряды теории возмущений для (9a)-(10a), если смотреть на квазичастичные переменные $\vec{R}$ и $\vec{r}$, есть просто разложения точных формул (11)-(12) по $\epsilon '$, что вообще не изменяет формы решения, а модифицирует в них изначально неточные константы, если догадаться это сделать. Но это, конечно, еще не перенормировки, а очень даже законные поправки, нет, не к массам, а к приближенным решениям. Пока мы ничего не отбрасываем, все наши расчеты безупречны; в частности, все массы здесь еще сохраняют свой смысл: массы квазичастиц выражаются честно и вычисляются недвусмысленно через массы взаимодействующих частиц, а последние по условию задачи нам известны - наша система двух частиц сборная-разборная.

Если же смотреть на смешанные переменные $\vec{r}_1$ и $\vec{r}$, то свернутое решение для $\vec{r}_1$ будет несколько "длиннее" (формула (4)), только и всего.

Итак, мы получили в механике ряд теории возмущений, который модифицирует массы от неточных к точным и добавляет "флуктуирующую" часть в координату первой частицы (4). Это нормально и это правильно для сборно-разборной системы, описываемой смешанными переменными. Повторюсь, однако, что на опыте часто измеряются именно параметры квазичастиц, а не "элементарных" частиц - собственные частоты сложных неразборных систем, полные массы, и т.п. И, значит, открытые экспериментально уравнения есть скорее квазичастичные уравнения типа (6)-(7), чем уравнения "истинных" взаимодействующих  частиц (9б)-(10б).

Перенормировки возникают как раз тогда, когда мы в физике имеем дело с неразборными сложными системами и, не понимая истинного смысла уже открытых до нас механических и волновых квазичастичных уравнений типа (6)-(7) с правильными (феноменологическими) константами, пытаемся спасти "нарушенные", как нам кажется, законы сохранения (вспомним Лоренца). Мы сами добавляем в (6) силу самодействия ("трения"), являющуюся, как показывает анализ (глава 3), кинетическим членом типа $ \epsilon '\cdot ( \ddot {\vec{r}} - \ddot {\vec{r}}_1 )$. Тогда мы получаем поправки к правильным параметрам квазичастиц и только ухудшаем согласие с экспериментом. Ухудшение получается как для конечных, так, разумеется, и для бесконечных величин поправок. Отбрасывание же ненужных поправок "восстанавливает" согласие с экспериментом, и в этом и состоит изрядная доля "удачи" перенормировок.

Перенормировки - это отбрасывание поправок к уже имеющимся физическим, фундаментальным, феноменологическим константам в нефизических решениях нами же придуманных нефизических (неудачных) уравнений, и ничего больше. Поэтому такое "предписание" и спасительный  "рецепт" есть очевидное насилие над здравым смыслом и указание на концептуальные ошибки в основах теории, что и беспокоило Дирака, Паули, Швингера, Фейнмана и многих других исследователей. Поэтому эти люди и бились над поиском новых принципов и лучших исходных уравнений, и других исследователей призывали к тому же. Технически же получается, что, ради спасения законов сохранения, мы сначала вводим самодействие (члены типа $ \epsilon '\cdot ( \ddot {\vec{r}} - \ddot {\vec{r}}_1)$), а потом почти от всех его эффектов избавляемся с помощью "перенормировок". Ну разве это дело?

Ситуация с самодействием и перенормировками затуманивается из-за того, что некоторая часть пертурбативных поправок все-таки нужна, если мы ищем $\vec{r}_1$, а не $\vec{R}$, так как еще они уточняют ("удлиняют") решение $\vec{r}_1^{(0)}$, а не сводятся лишь к сдвижкам масс, как в $\vec{R}^{(0)}=\vec{R}(m_1)$ : $\vec{r}_1^{(0)} = \vec{R}^{(0)} \rightarrow \vec{r}_1 ( M_{tot},\mu ,\epsilon )= \vec{R}(M_{tot}) + \epsilon \cdot \vec{r}(\mu, \epsilon)$. Уточненные решения лучше соответствуют эксперименту и это создает иллюзию правильности "основ теории", т.е. "правильности добавления самодействия" в (6) и "правильности перенормировок". Однако, из нашего рассмотрения видно, что "самодействие" $ ( \ddot {\vec{r}} - \ddot {\vec{r}}_1)$ случайно выглядит, как взаимодействие, формально записанное в смешанных переменных, a "перенормировки" удаляют ненужные поправки к изначально правильным константам (неизбежно возникающие в формулировке в смешанных переменных), но оставляют нужные поправки к начальному приближению $\vec{r}_1^{(0)}$. На мой скромный взгляд, это весьма вредная случайность, охмурившая исследователей и лишь затормозившая развитие физики. Поэтому не удивительно, что когда выдуманное наугад самодействие в какой-нибудь другой теории оказывается чуть-чуть посложнее, чем в нашем примере, то все - такая теория уже, как правило, не перенормируемая. И проблема тут даже не в бесконечной величине поправок или в их большом числе, а в их концептуальной ошибочности, и простыми отбрасываниями этого не уже поправить. Отбрасывание поправок - это не наш метод. Это  метод грубых и нерадивых ковбоев, недолюбливающих свою работу.

Чтобы не было этого нелогичного построения, нужно принять, что феноменологические уравнения  вида (9б) и (10б) для заряда и излучаемого поля являются уравнениями ЦИ и относительного движения, описывающие одну сложную (неразборную) систему, то есть, они являются точными уравнениями типа (6), (7) с соответствующим новым смыслом переменных. Законы сохранения в них уже выполняются и без нашего вмешательства. Здесь важным становится не "исправление" уравнений (9б), а отыскание правильной связи между  координатой "элементарной" частицы и коллективными координатами - связи $\vec{r}_1,  \vec{R}$ и $\vec{r}$, если очень хочется следить именно за $\vec{r}_1$. Это тоже далеко не тривиальная задача, но это и есть здоровый, феноменологический путь построения теорий "элементарных" частиц. Элементарными, независимыми и свободными являются элементарные возбуждения - квазичастицы, а не "голые" частицы. Квазичастицы нам тоже близки, так что все еще в наших руках и рано сдаваться. Прорвемся! Вся разница в том, что взаимодействие с "собственными осцилляторами поля" в сложной неразборной системе осуществляется не так, как к внешним полем. Внешнее поле можно физически включать и выключать, а собственное имеется всегда. Правда, разнообразие квазичастиц в природе получится гораздо больше, чем в самой полной Теории  Всего, но это даже неплохо. Будет чем заниматься.


P.S. Для максимальной наглядности я, конечно, упростил рассмотрение до предела. Так, например, если внешняя сила зависит от координат $\vec{r}_1$, то уравнения ЦИ и относительного движения тоже зацепляются, правда не сильно и не опасно. Это видно из Гамильтониана (8).

P.P.S. Помимо избавления от ненужных пертурбативных поправок к феноменологическим константам, в КЭД приходится суммировать вклады мягких фотонов, которые присутствуют всегда и от них просто так не отделаться. В нашей механической задаче аналогами фотонов являются возбужденные внешней силой колебания $\vec{r}(t)$, а их влияние на первую частицу есть осциллирующее ("флуктуирующее") слагаемое в выражении $\vec{r}_1(t) = \vec{R}(t)+\epsilon \cdot \vec{r}(t)$. В нулевом по $\epsilon '$ приближении частица 1 не имеет флуктуирующих вкладов: $\vec{r}_1^{(0)} = \vec{R}(t)$, как и в КЭД (упругие процессы), а длинный ряд теории возмущений для $\vec{r}_1$ фактически может быть свернут в компактное выражение $ \vec{R}(M_{tot}) + \epsilon \cdot \vec{r}( \mu, \epsilon)$ с помощью (15)-(17). Пертурбативный учет "флуктуирующих" членов аналогичен суммированию инфракрасных диаграмм в КЭД. Их вклад ненулевой и физически правилен, так как мягкие фотоны излучаются всегда. В формулировке (6)-(7) такой учет происходит автоматически и точно, и в этом большое преимущество формулировки (6)-(7). Если в этой формулировке что-то разлагать по другому малому параметру, например, по градиенту внешней силы, то кинетические поправки не усложняют ряд теории возмущений, так как их здесь просто нет. Наконец, суммирование вкладов разных мягких фотонов в КЭД соостветсвует усреднению наших осцилляций по времени - от них почти ничего ничего не остается, а среднее движение частицы сводится к движению центра  инерции.

Соотношение для $\vec{r}_1$, содержащее "гладкие" ($\vec{R}$) и "флуктуирующие" ($\vec{r}$) слагаемые, может дать пищу сторонникам представлений о "скрытых параметрах" в "детерминистской" теории. Я использовал простейшие "детерминистские" уравнения (т.е., уравнения классической механики) лишь для объяснения идей и принципов квазичастичного описания и верю в первичность квантового описания, похожего, но не сводящегося к влиянию скрытых параметров на "классические" частицы. В квантовомеханическом описании заряд, связанный в осцилляторах, "размазан" в пространстве, ну как заряд ядра в атоме, а не мечется из стороны в сторону по запутанным, но классическим  траекториям.

Еще раз, средние по времени величины $\langle \vec{r}_1\rangle$ и $\langle\vec{R}\rangle$ часто могут быть близки и экспериментально не различимы. Тогда уравнений (6)-(7) вполне достаточно, что, собственно, частенько и практикуется в электродинамике. ;-)

P.S. See this and this.

Комментариев нет:

Отправить комментарий