Fishers in the snow: Вся энергия основного состояния - из теории возмущений

_____________________________________________________________________________Visit and join this Advanced Physics Forum:

среда, 9 марта 2011 г.

Вся энергия основного состояния - из теории возмущений

Самая первая моя опубликованная работа была посвящена вычислению энергии основного состояния кваркониума по теории возмущений (ТВ), где возмущением служило все сильное взаимодействие. То есть, в начальном приближении это пара свободных  кварков, а в точном решении - их связанное состояние. (Шутка).

Нет, правда, Вайнштейн, Захаров, Новиков и Шифман придумали все это для КХД. Для объяснений метода они опубликовали простые квантовомеханические (модельные) примеры в журнале "Ядерная Физика" (1980, Т. 32, стр. 1622), а мой начальник лаборатории М. З. Максимов применил свой "приведенный" метод сращивания асимптотических разложений к этой последней задаче. Меня подключили на поздней стадии (1981-82), когда вся статья была уже написана другими сотрудниками лаборатории. Предполагалось, что я проверю вычисления наших ребят, подпишу статью, как один из соавторов, и попаду на крючок к начальнику - как никак, а первая публикация за почти что даром. Но получилось по-другому. Я сказал, что чтобы применять сращивание, надо знать обе противоположные асимптотики, а у нас асимптотики при больших временах нет, она - искомая, а не известная функция. Давайте вернемся к идее ВЗНШ и попробуем оценить наименьшее собственное значение исходя из ряда теории возмущений. Просто будем применять аппроксиманты Паде (Padé), а не степенные ряды, как ВЗНШ. Я получил добро на эту деятельность и построил аппроксиманты Паде для нескольких модельных потенциалов. Оказалось, что оценить энергию основного состояния можно, но точность выходила ограниченная. Для увеличения точности я стал вычислять поправки ТВ третьего порядка и построил аппроксиманты Паде третьего порядка. Стало заметно лучше, но тут М. З. Максимов принес для пробы еще один вид аппроксимант - аппроксиманты Зоммерфельда, в которых используется лишь линейные и квадратичные поправки (которые получить всегда легче), но главное - в нашей задаче аппроксиманты Зоммерфельда оказались существенно точнее аппроксимант Паде второго порядка. Теперь расчет наименьшего собственного значения выглядел и проще, и солиднее. В статью мы включили все (для сравнения), а суть метода состоит в следующем.

Функция Грина для нестационарного 3-x мерного уравнения Шредингера с несингулярным удерживающим потенциалом типа $\vec{r}^\nu, \nu \gt 0$ может быть представлена в виде спектрального разложения:

$G(\vec{r}_1,t_1|\vec{r}_2,t_2) = \sum \psi_n (\vec{r}_1)\bar{ \psi}_n (\vec{r}_2) e^{-iE_n (t_1-t_2)}.\qquad(1)$

Она не сводится, конечно, к вкладу только от основного состояния, но если  в нее подставить мнимое время $i(t_1-t_2) = \tau$, то при больших мнимых временах 

$G(\vec{r}_1,t_1|\vec{r}_2,t_2) \approx \psi_0 (\vec{r}_1)\bar{ \psi}_0 (\vec{r}_2) e^{-E_0 \tau},   \tau \rightarrow \infty.\qquad(2)$

Для упрощения расчетов можно положить также $\vec{r}_1 = \vec{r}_2 = 0$. Тогда 

$G(0,t_1|0,t_2) \approx |\psi_0 (0)|^2 e^{-E_0 \tau},    \tau \rightarrow \infty.\qquad(3)$

Для отыскания (3) можно использовать функцию Грина упрощенного уравнения:

$\left[\frac{\partial}{\partial \tau}- \hat{H}_0 + V(\mathbf{r})\right]G(\mathbf{r},\tau) = \delta (\mathbf{r}) \delta (\tau).\qquad(4)$

Это нестационарное уравнение теплопроводности или диффузии, которое может быть решено по теории возмущений, где возмущением является член $V(\vec{r})$. В таком  случае теория возмущений строится "при малых временах" $\tau \rightarrow 0$ и ряд ТВ получается следующим:

$G(0,t_1|0,t_2) \approx G_s(\tau)[1 - \bar{V}(\tau) + \bar{VV}(\tau) + ...].\qquad(5)$

Здесь $G_s\propto \tau^{-3/2}$ - "свободная" функция Грина, а $\bar{V}(\tau)$ и $ \bar{VV}(\tau)$ есть пертурбативные поправки (функции $\tau$), зависящие от формы потенциала $V(\vec{r})$.  Разумеется, все эти вычисления осуществимы лишь в тех случаях, когда функция Грина  и ее спектральный ряд (1) существуют, что вполне имеет место для "удерживающих" потенциалов. Мы использовали линейный, квадратичный, произвольный степенной трехмерный потенциалы, а также сферическую "яму". Наиболее интересны линейный и квадратичный 3-х мерные удерживающие потенциалы, которые обеспечивают конфайнемент кварков. Тогда поправки ТВ в квадратных скобках (5) есть просто некоторые степени $\tau$.

Физический смысл такой постановки задачи простой: в $t = 0$ мы вносим $\delta$-образное возмущение в начале координат, которое затем как-то релаксирует. В квантовой механике (1) это суперпозиция всяких волн, гуляющих от края до края в удерживающем потенциале, а в уравнении диффузии - это расползание начального дельта-образного распределения по системе. В начальные моменты времени возмущение расползается "свободно", не чувствуя слабого "потенциала" $V(\vec{r}\approx 0)\approx 0$, (который для диффузии не потенциал а, скажем, пространственно-неоднородный коэффициент диффузии). По мере распространения начального возмущения из точки $r=0$ в периферийную область потенциал начинает сказываться на скорости релаксации. В конце концов, диффузия приведет к равномерному распределению концентрации (нулю), а его конечная стадия описывается одной, самой "медленной" затухающей экспонентой. В этом преимущество использования мнимого времени.

Если просто суммировать почленно эти поправки в квадратных скобках (5), как делали ВЗНШ, то ясно, что далеко в область больших $\tau$ не пройдешь - старший степенной член полинома начинает куда-нибудь "расти" и совсем не похож на убывающую экспоненту (3). Для получения хорошей точности при больших параметрах разложения надо применять нелинейные аппроксиманты.

Аппроксиманты Паде это дробно-линейные функции, типа полином на полином: $f(x) \approx \frac{P_N (x)}{Q_M (x)}$. Они не так быстро растут при больших значениях  $x$ и лучше аппроксимируют искомую функцию вдали от точки разложения. Например, возьмем простейшую экспоненту $e^{-x} \approx 1 - x + 0.5 x^2 + ...$ и построим для нее приближение Паде порядка [0/2]: $f(x) \approx \frac{1}{1 + x + 0.5 x^2}$. Ясно, что такое приближение убывает при больших $x$, а не растет, как старший член в полиноме, поэтому точность аппроксимации [0/2] при конечных $x$ получается лучше (для компактности рисунка используется шкала обратного времени):



Чем больше известно членов ряда, тем точнее будет приближенная нелинейная формула.


Главное в нашем деле было получить хорошую точность аппроксимации функции Грина при конечных, но достаточно больших временах $\tau$, где она с хорошей точностью уже представляется (насыщается) вкладом от одного основного состояния (3). Тогда характеристики этого состояния можно вычислить/оценить/извлечь из "чисто пертурбативных" расчетов. То есть, неизвестную асимптотику при $\tau\to\infty$ можно приближенно описать известной асимптотикой при $\tau\to 0$, если последняя хорошо "работает" и при больших $\tau$. Тогда энергия основного состояния $E_0$ оценивается через логарифмическую производную, а найдя ее, можно найти и $|\psi_0 (0)|^2$. Так мы и сделали. Особенного в этом ничего нет, просто надо еще удачно оценить саму точку вычисления производной (область "совпадения" противоположных асимптотик), которая, вообще говоря, из одной теории возмущений не известна.

А метод Зоммерфельда состоит в построении функции типа $(1+a\cdot x)^b$ по трем членам разложения $f(x) \approx (1 + \alpha x + \beta x^2)$. В наших примерах такое приближение очень даже неплохо работало при больших, но конечных $x$. Это можно качественно понять так: если аппроксимируемая функция - просто ряд от одной экспоненты $Аe^{-х}$, то ее аппроксимация Зоммерфельда дает точный результат - саму экспоненту. Функция Грина для (4) есть, конечно, не одна, а множество экспонент, поэтому формула Зоммерфельда дает лишь приближенный, но приемлемый результат. Работа же наша вышла в журнале "Ядерная Физика" аж в 1985 году (Т. 41, вып. 2, стр. 329-337).


1 комментарий:

  1. Сам Михаил Шифман (Mikhail Shifman) (http://traveller2.livejournal.com/) немедленно!!!
    среагировал на http://vladimir-anski.livejournal.com/18666.html
    комментарием по существу настоящего ...

    ОтветитьУдалить