Fishers in the snow: ON PERTURBATION THEORY FOR THE STURM-LIOUVILLE PROBLEM WITH VARIABLE COEFFICIENTS

_____________________________________________________________________________Visit and join this Advanced Physics Forum:

пятница, 30 марта 2018 г.

ON PERTURBATION THEORY FOR THE STURM-LIOUVILLE PROBLEM WITH VARIABLE COEFFICIENTS

В то время как весь цивилизованный мир казнит Россию и россиян за нашу с вами неисправимую порочность, я, как дурак, весь Март старался доработать свою старую статью, название которой вынесено в заголовок этой заметки. Ну, во первых, давно хотелось проверить мои правдоподобные, но не доказанные "предложения" (утверждения и формулы), а во вторых, показать, что мы не лыком шиты и нефиг нас постоянно обсерать.

Ну и вот, одна моя формула оказалась всё же хуже, чем я её раньше подавал, - формула (23а) для собственной функции основного состояния. Пришлось каяться и придумывать что-то взамен. И к счастью, придумалось - формула (23с). После нескольких дописываний я разместил в сети окончательный вариант со всеми доказательствами и рисунками; разместил в arXivе и на моих сайтах (Academia.edu и ResearchGate).

Здесь же я размещу лишь один рисунок - отношение моей приближенной формулы к точной. Не важно, что там отложено по осям; скажу лишь, что рассмотрен случай "сильной связи" или случай не малой величины "малого параметра". То, что отношение близко к единице, говорит о качестве моей приближенной аналитической формулы (относительная погрешность меньше пяти процентов по модулю).



EDIT: Для себя состряпал ещё и рисунок двух поверхностей: серая это моя приближенная формула, а зеленая это точная функция. Видно, что они (приближенная и точная) довольно близки практически везде (варьируются не только $x$, но и $x1$, а "малый параметр" ln$(r1/r2) = \pm 1.5)$:




EDIT_2: Не удержался и проверил, что интерационная процедура работает хорошо. Следующее приближение (зелёные крестики) еще лучше, чем предыдущее (относительная погрешность стала меньше 0.4%):


Но теперь, конечно, пришлось численно, а не аналитически, считать два интеграла - следующее приближение и его нормировку. (Разумеется, вместо численного интегрирования можно выписать аналитические формулы так как интегралы берутся до конца, но я решил не загромождать длинными формулами понятное и так вычисление).

EDIT_3: За Апрель месяц я наработал еще больше материала, который выйдет завтра в арХиве под тем же названием, только PART II (https://arxiv.org/abs/1805.03021).

2 комментария:

  1. I think you are incurable enthusiast. I hope this helps Russia. Though, I kind of doubt. And, anyway, the best helpers would be the army, the aviation, and the navy. Or not, more likely it's a cobalt bomb. Whatever ...

    Anyway, the approximation seems to be pretty good.

    ОтветитьУдалить
  2. Игорь, я сначала не понял, что ты имеешь ввиду. Я ведь себя любимого выгораживаю, а не Россию. Просто для всех здесь я русский, а не украинский или французский. В России я прожил меньше всего за свою жизнь. С 1993 по 1999 годы - шесть лет из шестидесяти. Можно добавить еще три года аспирантуры, но всё равно мало.

    ОтветитьУдалить