О физике асимптотических рядов и их (ре)суммировании

Так называется моя заметка в PhysicsOverflow, форуме, посвященном продвинутой физике. Там был задан такой вопрос неким новичком, а я поучаствовал в ответах. Кончил я примерно, как Козьма Прутков, советовавший, что, мол, если хочешь быть счастливым, то будь им!

Речь шла о рядах с быстро растущими коэффициентами, делающими эти ряды непригодными для прямого суммирования, ибо результат суммирования не стремится к определенному пределу, а расходится (удаляется от точного значения). Типичный пример - расходящийся ряд с факториально растущими коэффициентами:

$E(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{1+x\cdot t}dt\approx 1-x+2!x^2-3!x^3+...\qquad (1)$

Графики разных полиномов приведены на Fig. 1:

                                                          Fig. 1.

Сама функция $E(x)$ изменяется медленно, а частичные суммы его ряда (1) растут как старшая степень соответствующего полинома, так что в область конечных $x$ продвинуться не получается. Так вот, я и предлагаю, если хотите убывающих членов в ряду $E(x)$, то сами сделайте их убывающими и считайте себе на здоровье.

Нет, правда, я рассуждаю так: даже для сходящегося ряда кусок ряда вдали от точки разложения растет как старшая степень $x$, так что лучше разлагать искомую функцию не по степеням $x$, а по степеням менее растущей функции $f(x)$: $E(x)\approx 1-f(x)+a\cdot f(x)^2-b\cdot f(x)^3$, и тогда отклонение куска ряда от точной функции будет меньше. Функция $f(x)$ должна "начинаться" в нуле как $x$, но "потом" она может расти гораздо медленнее и ряд с ней будет лучше экстраполировать искомую функцию в область конечных $x$. Для демонстрации этой идеи я рассмотрел несколько таких функций $f(x)$. Например, $f(x)=\ln (1+x)$. На Fig. 2 она обозначена как $Y(x)$:

                                                               Fig. 2.

Заметьте, коэффициенты при степенях $Y$ уменьшились по сравнению с (1), и сама $Y(x)$ меньше $x$, так что все члены ряда стали реально меньше. 

Еще менее растущая функция есть $Z(x)=x/(1+x)$. Ряд с ней получается еще лучше (Fig. 3):

                                                              Fig. 3.

Для интереса, я рассмотрел в качестве новой функции медленно меняющуюся функцию $f(x)=x/(1+kx)$ с подгоночным параметром $k$, чтобы занулить при помощи него коэффициент $b$ при "кубическом" члене. Занулить не получилось, но получилось минимизировать его: $b_{min}(k^*)=2,\;k^*=2,\;a(k^*)=0$. Новые ряды, выраженные через нее, даны на Fig. 4, где я продлил ось $x$ до $x=5$:

                                                         Fig. 4.

Подобная же программа "минимизации" вклада кубического члена, проведенная для функции $I(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2-x\cdot t^4}dt\approx \sqrt{\pi}(1-0.75x+3.281x^2-27.07x^3)$, также дала неплохую экстраполяцию в область достаточно больших $x$ ($b_{min}(k^*)=30.14,\;k^*=4.375,\;a(k^*)=0$).

                                                       Fig. 5.

Вывод: добивайтесь маленьких коэффициентов (точнее, все меньших и меньших членов) в новом ряду и он станет сходиться, как вам хочется. Я называю это конструктивным подходом.

Энергия основного состояния $E_0(\lambda)\approx 0.5(1+1.5\lambda-5.25\lambda^2+41.625\lambda^3)$ ангармонического осциллятора $\lambda x^4$, "обработанная" тем же способом, тоже получается вполне приличной (+/- 1.5% при $0\le \lambda\le 1$, Fig. 6):

                                                       Fig. 6.

P.S. В моей практике я также столкнулся с рядом (сходящимся, правда) $f(\xi)\approx f(0)+f'(0)\xi+f''(0)\xi^2/2+...$, чью сходимость мне удалось улучшить путем частичного суммирования членов ряда в конечную функцию $ g(\xi)$, так что новый ряд  $ f(\xi)\approx g(\xi)+a\xi +b\xi^2+...$ стал сходиться еще быстрее (Главы 3 and 4). Чем-то этот подход аналогичен суммированию мягких диаграмм в КЭД.


Итак, дерзайте: если хотите получить "сходящийся" ряд, то постройте его сами и пользуйтесь на здоровье. И положите на теорему о единственности ряда.