Fishers in the snow: О "Естественной единой теории электромагнитного и фермионного полей"

_____________________________________________________________________________Visit and join this Advanced Physics Forum:

воскресенье, 31 марта 2013 г.

О "Естественной единой теории электромагнитного и фермионного полей"

Амбициозное название "Естественная единая теория электромагнитного и фермионного полей" заимствовано мною из моногафии Н. В. Мицкевича "Физические поля в общей теории относительности" 1969 года (см. стр. 148-151), но никакой гравитации мы, естественно, рассматривать не будем - нет ее в главе 4.9, посвященной "Единой теории", и тем и лучше.



Речь идет о нелинейной системе уравнений Дирака и Максвелла, то есть, о релятивистском квантовомеханическом электроне до вторичного квантования, "действующем сам на себя". Я всегда думал, что там без перенормировок не обойтись, но, как оказалось, я ошибался, - обходятся и даже получают нетривиальные "локализованные" решения, иногда называемые солитоном или уединенной волной. А кое-кто нашел даже монопольное решение, возможно, подражая монополю Полякова-Хофта. Для меня это было совершеннейшим сюрпризом и я решил разобраться, как такое может быть, чтобы с самодействием и без перенормировок, и что они там такого надыбали. Данная заметка это не обзор эксперта, а мои первые впечатления от поверхностного знакомства с несколькими стаьями. Тем не менее, мне это интересно, так как все там упирается в "самодействие", засилье которого в современной теории феноменально.

Сюрприз случился потому, что, не смотря на замечательные решения совместной системы Дирака-Максвелла, люди о них как-то почти не пишут, стесняются что ли, вот я и не знал, что они давно уже есть. А они были, есть и еще будут. Правда, там не без ошибок, я думаю, и поэтому я и решил обрисовать здесь их результаты и мои соображения против.

Каждый автор приводит свою мотивацию рассмотрения "единой теории", не хочется за всеми повторять, но кратко суть состоит в "исследовании структуры электрона". Впрочем, Гаррет Лизи (1995) пишет более конкретно: "Before we embark on a search for a localized solution it would be wise to consider on what grounds such a solution is plausible. It is well known that when one considers the Dirac equation with an external “repulsive” potential the possibility arises to obtain bound state solutions [3]. This potential produces bound states with discrete energies that rise from the continuum of free negative energy states in the same way that an “attractive” potential produces lower energy states from those of positive energy. For a great enough “repulsive” potential we may even obtain bound states of positive energy. This interesting phenomenon goes under the name of “Klein’s paradox” and provides our motivation. In our case the “repulsive” potential is provided by the charge feeling its own electric field." [3] J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics (Addison-Wesley, N.Y., 1967). То есть, как будто есть некая квантовомеханическая релятивистская причина локализации (парадокс Клейна), обусловленная "самодействием", создающим "отталкивающий потенциал".

Ну и вот, система Дирака-Максвелла, встречающаяся также под названием "система Максвелла-Дирака" (важное различие при поиске в арХиве), состоит из уравнения Дирака для волновой функции $\psi$ и электромагнитного поля $A$, создаваемого электроном, описываемом этой волновой функцией. Что может быть проще? Проще может быть уравнение Шредингера с уравнением Пуассона, а еще проще может быть уравнение Ньютона с уравнением Пуассона, но оказывается, Ньютон с Пуассоном не дают желаемого пытливым исследователям. Поясню: любители самодействия видят его так:

Система Дирака-Максвелла

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}i\hat{\partial}\psi+e\hat{A}\psi-m\psi=0, \\ \partial^2 A_{\mu}=-e\bar{\psi}\gamma_{\mu}\psi. \end{array}\right}\quad (1)$

С таким же успехом можно написать систему Шредингера-Пуассона:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V(\vec{x})\psi, \\ \nabla^2 V=-e^2{\psi}^*\psi. \end{array}\right}\quad (2)$

Видите - квадрат модуля волновой функция здесь трактуется, как классическая плотность "постороннего" заряда, что, конечно, находится в противоречии с вероятностной интерпретацией волновой функции. В самом деле, возьмите атом водорода в абсолютных координатах $(\vec{x}_e,\vec{x}_N)$. В его уравнении Шредингера стоит потенциальная энергия взаимодействия электрона и ядра в виде $U=-e^2/|\vec{x}_e-\vec{x}_N|$ и нету там никакого интеграла от плотности вероятности нахождения ядра или электрона там или сям. Так что уравнения для потенциалов самодействия в (1) и (2) записаны не правильно, не пишут так в квантовой механике ни для взаимодействия точечных зарядов, ни для самодействия. Единственное место, где встречается "облако заряда" (формфактор) системы это Борновская амплитуда упругого рассеяния, т.е., когда налетающая на мишень быстрая частица "видит" мишень (а, разумеется, не себя!), как заряженное облако с плотностью $|\psi|^2$, но сама не искажает состояния мишени, что справедливо лишь в некотором (первом Борновском) приближении.

Правильное уравнение Ньютона-Пуассона (т.е., с самодействием) вырождается, естественно, в систему с бесконечной силой:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{1 l}m\ddot{\vec{x}}=\vec{F}\left(\vec{x}(t)\right),  \vec{F}(\vec{x})=-\nabla V(\vec{x}), \\ \nabla^2 V(\vec{x})=-e^2\delta\left(\vec{x}-\vec{x}(t)\right). \end{array}\right}\quad (3)$

Если привлечь вместо Ньютона классические уравнения Гамильтона-Якоби для $S(\vec{x},t)$, то туда войдет $V(0)$, - вот чем отличается правильный подход от нелинейного (1), (2).

То есть, уравнения (1), (2), конечно, нелинейные, но это, конечно, не самодействие, так как правильное самодействие дало бы $V(0)=V(r)\propto 1/r,\; r\to 0$. Иначе говоря, уравнения для поля в (1) и (2) записаны не в духе самодействия. Но противоречие имеется лишь с квантовомеханическими представлениями о волновой функции точечного электрона. А она (волновая функция) используется здесь фактически для описания "плотности заряда неточечного классического электрона" (если принять данную интерпретацию $V(\vec{x})$ в нелинейном случае) и ничего истинно квантовомеханического она уже теперь не представляет!

Я, написав производную по времени в (1) и (2), здесь немного слукавил, подражая авторам, так как имею ввиду в первую очередь стационарные решения, исследуемые авторами "естественной единой" теории, так что производная по времени не дает никакой динамики и написана здесь лишь "для порядка". Просто так лучше видно, что можно попробовать искать стационарные решения, пропорциональные $e^{-iEt/\hbar}$, как в квантовой механике. Так и поступают, хотя сразу надо сказать, что из-за нелинейности волнового уравнения принцип суперпозиции для волновой функции не выполняется. Ведь авторы стараются найти стационарные решения и придать им смысл стабильного конечно-размерного и уже классического электрона. Они полагают, что нелинейность приведет к солитонообразному решению для "волновой функции", которое создает Кулоновское поле на больших расстояниях, но не сингулярно в нуле. А саму волновую функцию они, фактически, используют, как корень квадратный из плотности заряда, а не как амплитуду вероятности не смотря на потуги некоторых по-прежнему рассуждать в терминах плотности вероятности. То есть, нелинейная система должна дать, по их представлениям, классический электрон конечного размера (а не нерасплывающийся волновой пакет). Их не смущает использование для этих целей волнового уравнения квантовой механики с совершенно иным смыслом $|\psi|^2$. Короче, от квантовой механики здесь сильно отступают, не будем обманываться.

Еще одно характерное ограничение - люди ищут статические сферически симметричные решения. Не бегущие волны, как в квантовой механике, а сферические "гармоники", полагая, что так правильнее искать локализованные в пространстве решения. В этом еще раз проявляется их особое стремление "получить" в итоге классическую заряженную частицу в том виде, в каком они ее представляют. Может тогда оказаться, что вид решения навязывается. Надо отметить, что такой "полевой" подход к пониманию частиц был присущ и Эйнштейну (1919), который с помощью ОТО тоже (безуспешно) пытался "стабилизировать" раздираемый силами отталкивания классический электрон (см. историю здесь).

Ну и вот, Крис Радфорд (Chris Radford) нашел что-то вроде электрически нейтрального магнитного монополя, что, конечно, совсем не похоже на электричeский заряд на больших расстояниях. Его соавтор Hilary Booth вторит ему. Нет, вы представляете себе, начали с заряженного электрона и кончили нейтральным монополем. И не смотря на то, что никакого внешнего поля (заряда) у них изначально в уравнениях не предусматривалось, решение, получаемое ими, подсказывает (они это так интерпретируют) наличие "внешнего" центрального заряда, который "экранируется" полем Дирака. Я думаю, они дали такую дебильную интерпретацию потому, что решение нелинейного уравнения Дирака получилось совсем не похожим на что-то "квантовомеханически размазанное", то есть, совместное с соотношением неопределенности Гейзенберга. Стоит себе что-то в центре и создает $1/r$. Другого выхода нет, как назвать это внешним зарядом, по их мнению. Видимо они ошибочно думали, что, введя подобную нелинейность, они все еще не вышли за рамки квантовой механики. В общем, они открыли существование внешнего заряда и магнитного монополя, что сродни открытию голых частиц ("вы же сами видите - так получается!").

Еще одна группа исследователей (Bohun, Cooperstock) нашла заряженный "солитон" при помощи численного решения системы уравнений Дирака-Максвелла. Независимо от них, Гаррет Лизи тоже нашел солитонообразное решение ("одиночная волна"), решая систему Дирака-Максвелла численно. Это уже более привычно и ожидаемо. Правда, H. Booth в главе 6 сослалась на неправильные упрощающие предположения Лизи, при которых решения, по ее словам, не существует (описано у Радфорда в последнем абзаце на стр. 10 и дальше). Тогда не понятно, что там нарисовали Лизи с Бохуном. Ну и никто из них никаких перенормировок не делал - не было нужды (самодействия-то на самом деле нету).

Наконец, Барут с сотоварищи в большом количестве статей делал аналитичeские вычисления по теории возмущений и вынужден был проводить перенормировки в отличии от предыдущих авторов. Упражнения Барута давали почти то же самое, что и квантовая электродинамика - Лэмбовский сдвиг, аномальный магнитный момент, и т.д., и никакого солитона. Поэтому надо понять, как же так, решения одной и той же задачи (с самодействием) разнятся столь сильно в зависимости от автора.

Мне вначале показалось, что солитонные (локализованные) решения в постановке (1) или (2) могут получаться из-за "отражающих" граничных условий - волновая функция равна нулю на границе $r=R$ (задача решается в сферических координатах на конечном интервале), что в значительной степени предопределяет решение. Включение нелинейности несколько искажает "невозмущенную" сферическую гармонику. Мне все еще не ясно, как там это "самодействие" ими учитывается, правильно ли, ибо тут есть тонкость - при любом отталкивающем, но заданном (известном) потенциале в сферической яме решения, конечно есть и квантуются, но при не заданном, а искомом - не известно, что получится. Как соотносится решение нелинейного уравнения $\psi(r)$ с решением линейного уравнения во внешнем потенциале $V(r)$, "вычисленном" по $\psi(r)$? Возможно никак. Нелинейность все может сильно нарушить, а мне хочется мыслить "квантовомеханически", пертурбативно, так сказать.

Рассмотрим для простоты систему (2) с определенной "энергией" $E$ в сферических координатах, имея ввиду состояния с $l=0$:

 $\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}E\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\psi+V(\vec{x})\psi, \\ \nabla^2 V=-e^2{\psi}^*\psi. \end{array}\right}\quad (4)$

Если выключить "самодействие", то радиальное уравнение из (4) будет иметь точные решения:

$\psi_E=\frac{\chi_E (r)}{r},\quad (5)$

а для $\chi_E (r)$ получается совсем простое уравнение:

$\chi''+\frac{2m}{\hbar^2}E\chi=0.\quad (6)$

Если выбрать в качестве решения синус, то получим некое локализованное состояние на интервале $0\le r\le R$:

$\psi_E=A\frac{\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r}, \;E_n=\frac{\pi^2 n^2}{R^2} \frac{\hbar^2}{2m}.\quad (7)$

Можно ли о последнем решении сказать, что это модель локализованного электрона конечного размера? Нет, конечно. Очевидно, что размер локализации определяется размером потенциальной ямы $R$, а сама локализация есть не что иное, как интерференция волны в замкнутом пространстве. Для существования интерференции линейность уравнения и принцип суперпозиции - жизненно важны.

Что будет, если добавить нелинейный и нелокальный член "самодействия" $V(r)$? Конечно, "волна" как-то исказится, даже новый размерный параметр появится, но мне все еще не ясно до какой степени важным/неважным для локализации будет "отражающее" граничное условие в $r=R:\;\psi(R)=0$.

Оценим вклад нелинейного члена в энергию в духе квантовой механики, считая его известной функцией, выраженной через нулевое приближение $\psi^{(0)}\propto\frac{\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r}$.

"Потенциал" $V(r)$ можно выразить через функцию Грина - интегральным (нелокальным) образом:

$V(r)=e^2\int{\frac{|\psi (r')|^2}{|\vec{r}-\vec{r}'|}d^3r',\quad (9)$

а можно и локальным - через волновую функцию прямо из уравнения Шредингера, но лишь если самосогласованное (точное) решение известно. Например, нулевой потенциал внутри ямы так и получается:

$V(r)=E+\frac{1}{\psi ^{(0)}(r)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\psi^{(0)}(r)=E+\frac{1}{\psi ^{(0)}(r)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\left[-\frac{\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r^2}+\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\frac{\cos\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r}\right]$

$=E+\frac{1}{\psi ^{(0)}(r)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[-\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}\right)}+\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}r\cos\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)\right]$

$=E+\frac{1}{\psi ^{(0)}(r)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\left[-\frac{2mE}{\hbar^2}r\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)\right]=0.$

Второй способ записи используется, когда хотят решать уравнения для электромагнитного 4-х потенциала путем подставления подобного локального соотношения в уравнение для потенциала. Тогда уравнение для $\psi$ получается чисто дифференциальным (см., например, Мицкевича или H. Booth). Для системы (4) дифференциальное уравнение получается четвертого порядка:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\left[\frac{1}{\psi }\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\psi\right]=-e^2\psi^2$

Вернемся, однако, к решению уравнения Пуассона. Диагональный матричный элемент нелинейного "возмущения" есть:

$V_{nn}=\int V(r)|\psi_n ^{(0)}|^2d^3r= e^2\intd^3r\intd^3r'{\frac{|\psi_n ^{(0)} (r)|^2 |\psi_n ^{(0)} (r')|^2 }{|\vec{r}-\vec{r}'|}.\quad (10)$

Из размерных соображений эта поправка пропорциональна $e^2/R$:

$V_{nn}=k(n)\frac{e^2}{R},\quad (11)$

а энергия основного состояния с синусом есть:

$E_0= \frac{\pi^2}{R^2}\frac{\hbar^2}{2m}.\quad (12)$

Для малых $R$ (отражающие стенки близки) поправка за счет нелинейности относительно мала и локализация определяется размерами сферической ямы. Для больших $R$ поправка из-за нелинейности относительно велика и нужно учитывать и суммировать высшие поправки, чтобы оценить ее истинное влияние. Существенный вопрос - хватит ли нелинейного эффекта для формирования локализованного состояния при отодвигании стенки на бесконечность? То есть, даст ли нелинейность эффективное граничное условие $\psi\to 0$, когда $R\to\infty$? Если нет, то локализация по-прежнему обязана своим существованием отражающим стенкам.

Потенциал (9) является "отталкивающим" и убывающим, как Кулон, если, конечно, "волновая функция" локализована вблизи нуля, но это для решения Лизи и Бохуна. Hilary Booth, пишет, что в релятивистском случае требование сферической симметрии ведет к наличию $A_{\varphi}$, растущему неограниченно в нуле, то есть, к магнитному монополю, а на далеких расстояниях от центра электростатическое поле стремится к нулю (нейтральность).

Гаррет Лизи решал не интегро-дифференциальные уравнения, а только дифференциальные уравнения (1), дискретизированные на некотором конечном интервале $(0,R)$. Как я уже писал, если потенциал задан (известен), то и волновая функция существует в смысле волновой функции линейного уравнения Шредингера с принципом суперпозиции. Но если система нелинейна и "потенциал" не известен, то не ясно, существует ли стабильное решение, но ясно, что принцип суперпозиции не применим (хорошо бы исследовать стационарные решения на устойчивость), и не мне понятно, к какому результату сходятся численные итерации - к решению нелинейного уравнения или к решению уравнения Шредингера во внешнем известном потенциале. Если к решению нелинейного, то мотивация с "отражающим потенциалом" не верна.

Нет, я передумал делать сам численные расчеты - не хочется ломать голову и зря тратить силы на дебильные вещи. Допустим, что Гаррет Лизи и Бохун правильно нашли решения нелинейных уравнений Дирака-Максвелла, и те не зависят от $R$ при достаточно больших $R$, то есть, "локализация" образуется из-за нелинейности, а не из-за отражения (нелинейность все определяет). Такие уравнения, если присмотреться, дали нереалистическую локализацию решений $\psi(r)$ (см. таблицы с $\langle r \rangle$  у Лизи и у Bohun). А даже если бы она и получилась реалистической, ну, вроде комптоновской длины волны электрона, как у Радфорда и Booth, то что с таким решением $\Psi(r,t)=e^{-iEt/\hbar}\psi(r)$ дальше делать, если это не волновая функция? Продать специалистам по классической электродинамике, как модель классического электрона? Нет, вся эта затея - мура как по своей постановке, так и по результатам. Какая-то безграмотная и противоречивая смесь из квантовой механики и классической электродинамики. В итоге в литературе можно найти большое количество статей, посвященых данной тематике, но их результаты не "шумят" ввиду их явной ущербности. И держится вся эта тематика на плаву лишь за счет всеобщего благосклонного отношения к концепции самодействия. Именно "самодействие" делает теорию "естественной" и "единой".

В целом и так ясно, что данная нелинейность и нелокальность не физична и ошибочна, что проще всего увидеть на элементарном примере уравнения Шредингера для атома водорода с бесконечно тяжелым ядром, то есть, уравнения (2), но с дополнительным внешним потенциалом $U(r)=-e^2 /r$. Тогда нелинейная поправка типа (10) к энергии $E_n$ будет порядка $e^2/a_n$, то есть, сравнима с самой энергией. Нет такого самодействия в квантовой механике, не говоря уже о нерушимости квантовомеханического принципа суперпозиции. Лэмбовский сдвиг, конечно, значительно меньше этих ошибочных поправок. Расчеты Барута в этом отношении более "адекватны" - он "правильно" учитывает самодействие (само самодействие "правильное" (стандартное) и перенормировки исправляют (вычитают) основную неправильность типа $V(0)$ ).

Замечу, что ценность "правильного самодействия" в том, что оно (после перенормировок) связывает механическое уравнение и волновое с целью учета передачи энергии в волновую подсистему при воздействии на механическую (механизм с существенной ролью производных по времени, которых в "стоячих солитонах" просто нету).

Впрочем, если действительно ставить задачу лишь получить классическую размазку заряда за счет какой-нибудь нелинейности, то тут все средства хороши. Только причем здесь тогда квантовая механика с ее уравнениями, линейным пространством векторов состояний, $\hbar$, ферми-статистикой, и т.д.? В принципе, размазку $\rho(r)$ можно тогда даже просто постулировать и не пускаться в подобного рода дебильные объяснения, откуда она реально получается, так как все равно мы не собираемся ее менять - у нее нет динамики по определению и, значит, никакие "нелинейные уравнения" тогда по большому счету не нужны.

Уравнение Дирака, хорошо работающее во внешних полях, не годится для "вывода" свойств самого электрона, так как оно являестя феноменологическим и применимым лишь для внешних полей. Что в него заложили, то там и есть. Наивно было думать, что устроив в нем "короткое замыкание", можно было получить что-то правильное. Но такой у нас дебильный mainstream.

А еще один товарищ (Marco Frasca) считает, что из-за самодействия происходит масса. Он аналитически решил нелинейное полевое уравнение с кубической нелинейностью и увидел, что "самодействие", то есть, локальный нелинейный член $\lambda \phi^3$ приводит к добавке к "первоначальной массе $\mu_0$" в его "дисперсионном соотношении" $p^2=\mu_0^2+f(\lambda)$. "Нелинейное решение", полученное им, периодическое, но уже не вполне синусоидальное. Разумеется, принцип суперпозиции тоже нарушился, но ведь всем условиям не угодишь ;-).

Нет, правда, если даже суть и вид самого решения изменились, то как можно по прежнему толковать об изменении массы? Массы чего? Того, что перестало быть решением линейного уравнения? Того, что перестало быть частицей в квантовомеханическом смысле? Ну и ну! Вот какие дела творятся под прикрытием обласканного "самодействия".

4 комментария:

  1. Спасибо, интересный критический обзор.

    У меня ощущение, что в работах, которые в разобрали, система Максвела-Дирака считается системой классических полевых уравнений, то есть описывает взаимодействие гипотетического классического фермионного поля с электромагнитным полем (волновой функции там нет).

    ОтветитьУдалить
  2. Да, так и есть. Квантовомеханическое уравнение (Дирака в данном случае) используется, как некий "механизм", чтобы получить классическую (буквальную) размазку заряда, и при этом стабильную. В этом отношении затея похожа на нелинейную теорию Борна-Инфельда.

    ОтветитьУдалить
  3. "Но такой у нас дебильный mainstream."

    Все же изучение солитонов в системе уравнений Дирака-Максвелла - это далеко не мейнстрим в теоретической физике.

    ОтветитьУдалить
  4. Да, Вы правы в том отношении, что это, конечно, не передний край теоретической физики и результаты всей этой активности нигде в практических расчетах не применяются. Но все это mainstream по своей сути - здесь есть и релятивистская, и калибровичная инвариантность, и самодействие, точно также, как в КЭД, так что с авторов взятки гладки - постановка их задачи списана с КЭД.

    ОтветитьУдалить